R甲山を流れるS吉川の10地点で採取した水の特定物質Xの濃度(%)が与えられています。これらのデータを用いて、S吉川における物質Xの真の濃度μが12であるかどうかを、有意水準5%で検定します。ただし、S吉川のポイント全体は正規母集団をなすと仮定します。

1. 問題の内容

R甲山を流れるS吉川の10地点で採取した水の特定物質Xの濃度(%)が与えられています。これらのデータを用いて、S吉川における物質Xの真の濃度μが12であるかどうかを、有意水準5%で検定します。ただし、S吉川のポイント全体は正規母集団をなすと仮定します。

2. 解き方の手順

(1) **帰無仮説と対立仮説の設定:**

* 帰無仮説 (H0): μ = 12

* 対立仮説 (H1): μ ≠ 12 (両側検定)

(2) **有意水準の設定:**

* α = 0.05

(3) **検定統計量の算出:**

標本サイズが小さく、母分散が未知であるため、t検定を使用します。

まず、標本平均 $\bar{x}$ と不偏標本標準偏差 s を計算します。

標本データ: 13.1, 12.6, 13.4, 11.6, 14.1, 11.8, 12.4, 10.9, 11.2, 12.5

標本平均 $\bar{x}$ は、

$\bar{x} = \frac{13.1 + 12.6 + 13.4 + 11.6 + 14.1 + 11.8 + 12.4 + 10.9 + 11.2 + 12.5}{10} = \frac{123.6}{10} = 12.36$

不偏標本分散 $s^2$ は、

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

各データ点と標本平均との差の二乗を計算します。

(13.1-12.36)^2 = 0.5476

(12.6-12.36)^2 = 0.0576

(13.4-12.36)^2 = 1.0816

(11.6-12.36)^2 = 0.5776

(14.1-12.36)^2 = 3.0276

(11.8-12.36)^2 = 0.3136

(12.4-12.36)^2 = 0.0016

(10.9-12.36)^2 = 2.1316

(11.2-12.36)^2 = 1.3456

(12.5-12.36)^2 = 0.0196

これらの合計は、0.5476 + 0.0576 + 1.0816 + 0.5776 + 3.0276 + 0.3136 + 0.0016 + 2.1316 + 1.3456 + 0.0196 = 9.094

したがって、$s^2 = \frac{9.094}{10-1} = \frac{9.094}{9} = 1.010444...$

不偏標本標準偏差 s は、$s = \sqrt{1.010444...} \approx 1.005$

検定統計量 t は、

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{12.36 - 12}{1.005 / \sqrt{10}} \approx \frac{0.36}{0.3179} \approx 1.132$

(4) **棄却域の設定:**

自由度 df = n - 1 = 10 - 1 = 9 のt分布において、有意水準 α = 0.05 の両側検定を行うため、t分布表からt値を調べます。

t(0.025, 9) = 2.262 (t分布表を参照)

したがって、棄却域は t < -2.262 または t > 2.262 です。

(5) **仮説の判定:**

算出した検定統計量 t = 1.132 は、棄却域 (-2.262, 2.262) に含まれているため、帰無仮説を棄却できません。

3. 最終的な答え

S吉川における物質Xの真の濃度μは12であるとは棄却できない。