袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っています。この中から同時に3個取り出すとき、以下の問いに答えてください。ただし、玉はすべて区別するものとします。 (1) 3個が同じ色である取り出し方は何通りあるか。 (2) 少なくとも1個は白玉である取り出し方は何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っています。この中から同時に3個取り出すとき、以下の問いに答えてください。ただし、玉はすべて区別するものとします。

(1) 3個が同じ色である取り出し方は何通りあるか。

(2) 少なくとも1個は白玉である取り出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 3個が同じ色である取り出し方

3個が同じ色になるのは、3個とも赤玉であるか、3個とも白玉であるかのいずれかです。

* 3個とも赤玉である場合:

赤玉5個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{5}C_{3}$ 通り。

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

* 3個とも白玉である場合:

白玉3個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{3}C_{3}$ 通り。

$_{3}C_{3} = \frac{3!}{3!0!} = 1$ 通り

したがって、3個が同じ色である取り出し方は、10 + 1 = 11 通りです。

(2) 少なくとも1個は白玉である取り出し方

少なくとも1個は白玉であるということは、3個すべてが赤玉である場合以外の場合を考えれば良いです。

まず、3個の玉の取り出し方の総数を求めます。

8個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{8}C_{3}$ 通り。

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り

次に、3個とも赤玉である場合を考えます。これは(1)で求めたように10通りです。

したがって、少なくとも1個は白玉である取り出し方は、56 - 10 = 46 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 11通り

(2) 46通り