男子5人と女子3人が1列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方は何通りあるか。 (1) 女子3人が続いて並ぶ。 (2) 女子は女子、男子は男子でそれぞれ続いて並ぶ。 (3) どの女子も隣り合わない。

1. 問題の内容

男子5人と女子3人が1列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方は何通りあるか。

(1) 女子3人が続いて並ぶ。

(2) 女子は女子、男子は男子でそれぞれ続いて並ぶ。

(3) どの女子も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 女子3人が続いて並ぶ場合

女子3人をまとめて1つのグループと考える。すると、並び方は男子5人と女子のグループの合計6つのものの並び方となる。

この6つのものの並び方は $6!$ 通りある。

また、女子3人のグループ内での並び方は $3!$ 通りある。

したがって、女子3人が続いて並ぶ並び方は、

$6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$ 通り。

(2) 女子は女子、男子は男子でそれぞれ続いて並ぶ場合

男子5人が続く並び方は $5!$ 通り。

女子3人が続く並び方は $3!$ 通り。

男子のグループと女子のグループの並び順は、男子が先か、女子が先かの2通り。

したがって、求める並び方は、

$5! \times 3! \times 2 = 120 \times 6 \times 2 = 1440$ 通り。

(3) どの女子も隣り合わない場合

まず、男子5人を並べる。その並び方は $5!$ 通り。

男子5人の並び方の間と両端の6箇所から3箇所を選んで女子を並べる。女子の並び方は $_6P_3$ 通り。

したがって、どの女子も隣り合わない並び方は、

$5! \times _6P_3 = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 4320通り

(2) 1440通り

(3) 14400通り