(1) 男子3人、女子2人の計5人を横一列に並べるとき、女子2人が隣り合う並べ方は何通りか。 (2) A, A, A, B, B, C, D の7つの文字を横一列に並べる並べ方は何通りか。 (3) 右の図のような道路で、A地点からB地点まで最短距離で行く方法のうち、交差点Pを通る方法は何通りか。 (4) 1枚の硬貨を6回投げるとき、表、裏がそれぞれ3回ずつ出る確率はいくらか。 (5) 赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を確かめてから袋に戻すという試行を3回繰り返す。このとき、白玉が1回だけ出る確率はいくらか。 (6) 3つの袋X, Y, Zがあり、Xには赤玉4個と白玉2個、Yには赤玉2個と白玉4個、Zには赤玉1個と白玉5個が入っている。3つの袋から1つの袋を選び、その中から1個の玉を取り出したところ、赤玉であった。このとき、この赤玉が袋Xの玉である条件付き確率はいくらか。

1. 問題の内容

(1) 男子3人、女子2人の計5人を横一列に並べるとき、女子2人が隣り合う並べ方は何通りか。

(2) A, A, A, B, B, C, D の7つの文字を横一列に並べる並べ方は何通りか。

(3) 右の図のような道路で、A地点からB地点まで最短距離で行く方法のうち、交差点Pを通る方法は何通りか。

(4) 1枚の硬貨を6回投げるとき、表、裏がそれぞれ3回ずつ出る確率はいくらか。

(5) 赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を確かめてから袋に戻すという試行を3回繰り返す。このとき、白玉が1回だけ出る確率はいくらか。

(6) 3つの袋X, Y, Zがあり、Xには赤玉4個と白玉2個、Yには赤玉2個と白玉4個、Zには赤玉1個と白玉5個が入っている。3つの袋から1つの袋を選び、その中から1個の玉を取り出したところ、赤玉であった。このとき、この赤玉が袋Xの玉である条件付き確率はいくらか。

2. 解き方の手順

(1)

女子2人をひとまとめにして考える。

男子3人と女子2人のグループの計4つを並べる並べ方は $4! = 24$ 通り。

女子2人の並び方は $2! = 2$ 通り。

よって、女子2人が隣り合う並べ方は $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ 通り。

(2)

7つの文字を並べる並べ方は $\frac{7!}{3!2!1!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5040}{12} = 420$ 通り。

(3)

AからPまでの最短経路は、右に2回、上に1回進むので、$\frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

PからBまでの最短経路は、右に2回、上に2回進むので、$\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り。

AからPを経由してBまでの最短経路は、$3 \times 6 = 18$通り。

(4)

硬貨を6回投げるとき、表と裏がそれぞれ3回ずつ出る確率は、

$_6C_3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^3 = \frac{6!}{3!3!} (\frac{1}{2})^6 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{64} = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

(5)

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出すとき、白玉が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、赤玉が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

3回繰り返す試行で、白玉が1回だけ出る確率は、

$_3C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^2 = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

(6)

袋X, Y, Zを選ぶ確率はそれぞれ $\frac{1}{3}$。

袋Xから赤玉を取り出す確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

袋Yから赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

袋Zから赤玉を取り出す確率は $\frac{1}{6}$。

赤玉を取り出す確率は、

$P(赤玉) = P(X)P(赤玉|X) + P(Y)P(赤玉|Y) + P(Z)P(赤玉|Z) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{4}{18} + \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{7}{18}$

求める条件付き確率は、

$P(X|赤玉) = \frac{P(X \cap 赤玉)}{P(赤玉)} = \frac{P(X)P(赤玉|X)}{P(赤玉)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{7}{18}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{7}{18}} = \frac{2}{9} \times \frac{18}{7} = \frac{4}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 48 通り

(2) 420 通り

(3) 18 通り

(4) $\frac{5}{16}$

(5) $\frac{4}{9}$

(6) $\frac{4}{7}$