A県の高校1年生男子の身長を調査する問題です。 (1) では、無作為に抽出した100人の身長データから、身長が164.8cm以上の男子の比率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間を求めます。 (2) では、今年の高校1年生男子の身長の平均が、昨年の平均より低くなったかどうかを有意水準5%で検定します。

1. 問題の内容

A県の高校1年生男子の身長を調査する問題です。

(1) では、無作為に抽出した100人の身長データから、身長が164.8cm以上の男子の比率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間を求めます。

(2) では、今年の高校1年生男子の身長の平均が、昨年の平均より低くなったかどうかを有意水準5%で検定します。

2. 解き方の手順

(1)

・標本における身長164.8cm以上の男子の比率 $p_0$ を計算します。$p_0 = 61/100 = 0.61$。

・標本の大きさが十分に大きいので、二項分布を正規分布で近似します。

・比率 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間は、近似的に $p_0 - 1.96\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} \leq p \leq p_0 + 1.96\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}$ となります。ここで、$n = 100$ です。

・信頼区間の下限 $p_L = 0.61 - 1.96\sqrt{\frac{0.61(1-0.61)}{100}} \approx 0.61 - 1.96 \times 0.0487 \approx 0.61 - 0.0955 \approx 0.5145$

・信頼区間の上限 $p_U = 0.61 + 1.96\sqrt{\frac{0.61(1-0.61)}{100}} \approx 0.61 + 1.96 \times 0.0487 \approx 0.61 + 0.0955 \approx 0.7055$

・よって、$0.52 \leq p \leq 0.70$ となります。

(2)

・帰無仮説を「A県の高校1年生男子の身長の平均 $m$ は昨年と変わらない $(m = 164.1)$」とします。

・対立仮説を「A県の高校1年生男子の身長の平均 $m$ は昨年より低い $(m < 164.1)$」とします。

・標本平均 $\overline{X}$ は、標本の大きさ100が十分に大きいので、平均 $m = 164.1$、標準偏差 $\sigma/\sqrt{n} = 4.2/\sqrt{100} = 0.42$ の正規分布に従います。

・$Z = \frac{\overline{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{161.9 - 164.1}{0.42} \approx -5.238$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に近似的に従います。

・標準正規分布表より、$P(Z \geq \alpha) = 0.05$ を満たす $\alpha$ の値は1.64です。

・棄却域は $Z \leq -1.64$ です。

・$Z \approx -5.238$ は棄却域に含まれるので、帰無仮説は棄却できます。

・よって、有意水準5%で片側検定すると、A県の高校1年生男子の身長は、昨年より今年の方が低くなったと判断してよい。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 6

ウ: 3

エ: 0

オ: 4

カ: 3

キ: 1

ク: 0

ケ: 0

コ: 1