男子5人、女子3人が1列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方は何通りあるか。 (1) 女子3人が続いて並ぶ。 (2) 女子は女子、男子は男子で、それぞれ続いて並ぶ。 (3) どの女子も隣り合わない。

1. 問題の内容

男子5人、女子3人が1列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方は何通りあるか。

(1) 女子3人が続いて並ぶ。

(2) 女子は女子、男子は男子で、それぞれ続いて並ぶ。

(3) どの女子も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 女子3人が続いて並ぶ場合

女子3人を1つのグループとして考え、男子5人と合わせて6つのものを並べることになる。

6つのものの並べ方は $6!$ 通り。

女子3人のグループ内での並び方は $3!$ 通り。

したがって、求める並び方は $6! \times 3!$ 通り。

(2) 女子は女子、男子は男子で、それぞれ続いて並ぶ場合

男子5人が続いて並ぶ並び方は $5!$ 通り。

女子3人が続いて並ぶ並び方は $3!$ 通り。

男子と女子のグループの並び方は、男子が先か女子が先かの2通り。

したがって、求める並び方は $5! \times 3! \times 2$ 通り。

(3) どの女子も隣り合わない場合

まず男子5人を1列に並べる。この並び方は $5!$ 通り。

男子5人の間にできる6つの隙間（両端を含む）から3つの隙間を選び、そこに女子を1人ずつ並べる。

隙間の選び方は ${}_6 P_3$ 通り。女子3人の並び方は $3!$ 通りでもあるので、${}_6 P_3 = 6 \times 5 \times 4$ 通り。

したがって、求める並び方は $5! \times {}_6 P_3 = 5! \times (6 \times 5 \times 4)$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) $6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$ 通り

(2) $5! \times 3! \times 2 = 120 \times 6 \times 2 = 1440$ 通り

(3) $5! \times {}_6 P_3 = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$ 通り