赤玉6個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから元に戻すという試行を5回行う。5回目に3度目の赤玉が出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉6個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから元に戻すという試行を5回行う。5回目に3度目の赤玉が出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で赤玉が出る確率を求めます。

袋の中には全部で $6 + 4 = 10$ 個の玉が入っており、そのうち赤玉は6個なので、赤玉が出る確率は $P(赤) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ です。

次に、4回目までに赤玉が2回出る確率を求めます。これは二項分布に従います。4回中2回赤玉が出る組み合わせの数は $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

4回中2回赤玉が出て、2回白玉が出る確率は、

$$_4C_2 \times (\frac{3}{5})^2 \times (\frac{2}{5})^2 = 6 \times \frac{9}{25} \times \frac{4}{25} = 6 \times \frac{36}{625} = \frac{216}{625}$$

最後に、5回目に赤玉が出る確率を掛けます。これは既に求めてある通り $\frac{3}{5}$ です。

したがって、求める確率は、

$$\frac{216}{625} \times \frac{3}{5} = \frac{648}{3125}$$

3. 最終的な答え

$\frac{648}{3125}$