この問題は、世論調査における母比率の区間推定と、標本誤差に関するものです。具体的には、 (1) NHKの世論調査における母比率を信頼度95%で区間推定する。 (2) FNN産経とJNN・TBSの調査における母比率をそれぞれ信頼度95%で区間推定する。 (3) 内閣支持率の標本誤差を±1%に収めるために必要な回答者数を求める。

1. 問題の内容

この問題は、世論調査における母比率の区間推定と、標本誤差に関するものです。具体的には、

(1) NHKの世論調査における母比率を信頼度95%で区間推定する。

(2) FNN産経とJNN・TBSの調査における母比率をそれぞれ信頼度95%で区間推定する。

(3) 内閣支持率の標本誤差を±1%に収めるために必要な回答者数を求める。

2. 解き方の手順

(1) NHKの母比率の区間推定

標本比率 $p = 0.48$, 標本サイズ $n = 1003$

信頼度95%のときのz値は1.96を使う。

標準誤差 $SE = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.48(1-0.48)}{1003}} = \sqrt{\frac{0.48 \times 0.52}{1003}} \approx 0.0153$

信頼区間: $p \pm z \times SE = 0.48 \pm 1.96 \times 0.0153 = 0.48 \pm 0.0300$

信頼区間: $(0.48 - 0.0300, 0.48 + 0.0300) = (0.4499, 0.5100) \approx (0.450, 0.510)$

(2) FNN産経とJNN・TBSの母比率の区間推定

FNN産経: $p = 0.498$, $n = 1000$

$SE = \sqrt{\frac{0.498(1-0.498)}{1000}} = \sqrt{\frac{0.498 \times 0.502}{1000}} \approx 0.0158$

信頼区間: $0.498 \pm 1.96 \times 0.0158 = 0.498 \pm 0.0309$

信頼区間: $(0.498 - 0.0309, 0.498 + 0.0309) = (0.4671, 0.5289) \approx (0.467, 0.529)$

JNN・TBS: $p = 0.574$, $n = 1200$

$SE = \sqrt{\frac{0.574(1-0.574)}{1200}} = \sqrt{\frac{0.574 \times 0.426}{1200}} \approx 0.0143$

信頼区間: $0.574 \pm 1.96 \times 0.0143 = 0.574 \pm 0.0280$

信頼区間: $(0.574 - 0.0280, 0.574 + 0.0280) = (0.5460, 0.6020) \approx (0.546, 0.602)$

(3) 必要な回答者数の計算

標本誤差 $E = z \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

ここで$E = 0.01$, $z = 1.96$

$0.01 = 1.96 \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

$n = \frac{1.96^2 \times p(1-p)}{0.01^2}$

$p$ がわからないので、最も標本サイズが大きくなる $p = 0.5$ を使う。

$n = \frac{1.96^2 \times 0.5 \times 0.5}{0.0001} = \frac{3.8416 \times 0.25}{0.0001} = \frac{0.9604}{0.0001} = 9604$

3. 最終的な答え

1. NHKの母比率: 45.0% - 51.0%

2. (1) FNN産経の母比率: 46.7% - 52.9%

(2) JNN・TBSの母比率: 54.6% - 60.2%

3. 必要な回答者数: 9604人