(1) 15人の中から4人の係を選ぶ組み合わせの数を求める。 (2) 12枚の異なるカードから9枚を選ぶ組み合わせの数を求める。 (3) 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3を並べてできる8桁の整数の個数を求める。 (4) 10チームが総当たり戦を行うときの試合総数を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) 15人の中から4人の係を選ぶ組み合わせの数を求める。

(2) 12枚の異なるカードから9枚を選ぶ組み合わせの数を求める。

(3) 8個の数字1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3を並べてできる8桁の整数の個数を求める。

(4) 10チームが総当たり戦を行うときの試合総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 15人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用います。

$_{15}C_4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!}$

$= \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15 \times 7 \times 13 \times \frac{12}{6 \times 4} = 1365$

(2) 12枚のカードから9枚を選ぶ組み合わせは、12枚から残りの3枚を選ばない組み合わせと同じなので、

$_{12}C_9 = {12}C_{12-9} = {12}C_3 = \frac{12!}{9!3!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

(3) 8個の数字を並べる順列の総数は $\frac{8!}{3!4!}$ です。

$\frac{8!}{3!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 5 = 280$

(4) 10チームから2チームを選ぶ組み合わせなので、$_{10}C_2$を計算します。

$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 5 \times 9 = 45$

3. 最終的な答え

(1) 1365通り

(2) 220通り

(3) 280個

(4) 45試合