5人の生徒の英語と国語のテストの点数が与えられた表に基づいて、英語と国語の平均点、偏差、分散、標準偏差、共分散、相関係数を計算し、最後に英語と国語の点数の間にどのような相関関係があるかを答える問題です。

1. 問題の内容

5人の生徒の英語と国語のテストの点数が与えられた表に基づいて、英語と国語の平均点、偏差、分散、標準偏差、共分散、相関係数を計算し、最後に英語と国語の点数の間にどのような相関関係があるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) 英語の点数の平均値を求める。

英語の点数は3, 7, 6, 5, 4なので、平均値 $\bar{x}$ は

$\bar{x} = \frac{3+7+6+5+4}{5} = \frac{25}{5} = 5$

(2) 国語の点数の平均値を求める。

国語の点数は9, 10, 8, 6, 7なので、平均値 $\bar{y}$ は

$\bar{y} = \frac{9+10+8+6+7}{5} = \frac{40}{5} = 8$

(3) 表の空欄を埋める。

各生徒の$x$の偏差は $x - \bar{x}$で計算します。同様に各生徒の$y$の偏差は $y - \bar{y}$で計算します。$(xの偏差)^2$, $(yの偏差)^2$, 偏差の積も同様に計算します。計算結果は以下の通りです。

生徒1: $x$の偏差 = $3-5 = -2$, $y$の偏差 = $9-8 = 1$, $(xの偏差)^2 = (-2)^2 = 4$, $(yの偏差)^2 = (1)^2 = 1$, 偏差の積 = $(-2)(1) = -2$

生徒2: $x$の偏差 = $7-5 = 2$, $y$の偏差 = $10-8 = 2$, $(xの偏差)^2 = (2)^2 = 4$, $(yの偏差)^2 = (2)^2 = 4$, 偏差の積 = $(2)(2) = 4$

生徒3: $x$の偏差 = $6-5 = 1$, $y$の偏差 = $8-8 = 0$, $(xの偏差)^2 = (1)^2 = 1$, $(yの偏差)^2 = (0)^2 = 0$, 偏差の積 = $(1)(0) = 0$

生徒4: $x$の偏差 = $5-5 = 0$, $y$の偏差 = $6-8 = -2$, $(xの偏差)^2 = (0)^2 = 0$, $(yの偏差)^2 = (-2)^2 = 4$, 偏差の積 = $(0)(-2) = 0$

生徒5: $x$の偏差 = $4-5 = -1$, $y$の偏差 = $7-8 = -1$, $(xの偏差)^2 = (-1)^2 = 1$, $(yの偏差)^2 = (-1)^2 = 1$, 偏差の積 = $(-1)(-1) = 1$

偏差の積の合計：$-2 + 4 + 0 + 0 + 1 = 3$

$(xの偏差)^2$の合計: $4+4+1+0+1 = 10$

$(yの偏差)^2$の合計: $1+4+0+4+1 = 10$

(4) xの標準偏差を求める。

xの分散 $s_x^2 = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{10}{5} = 2$

xの標準偏差 $s_x = \sqrt{s_x^2} = \sqrt{2}$

(5) yの標準偏差を求める。

yの分散 $s_y^2 = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(y_i - \bar{y})^2 = \frac{10}{5} = 2$

yの標準偏差 $s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{2}$

(6) xとyの共分散を求める。

共分散 $s_{xy} = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{3}{5} = 0.6$

(7) 相関係数を求める。

相関係数 $r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{0.6}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{0.6}{2} = 0.3$

(8) 相関関係の種類

相関係数$r = 0.3$ は正の値なので、正の相関関係がある。

3. 最終的な答え

(1) 英語の平均点：5

(2) 国語の平均点：8

(3) 表の空欄（上記参照）

(4) xの標準偏差: $\sqrt{2}$

(5) yの標準偏差: $\sqrt{2}$

(6) 共分散: 0.6

(7) 相関係数: 0.3

(8) 正の相関関係