赤玉4個、白玉4個、黒玉1個、合計9個の玉がある。 (1) これら9個の玉を1列に並べる並べ方は何通りか。 (2) これら9個の玉を紐に通してネックレスを作る場合、何種類のネックレスができるか。ただし、ネックレスを裏返して一致するものは同じものとみなす。 (3) 9個の玉に1から9の番号をつけ、区別できるようにする。この9個から5個を選んで円形に並べる方法は何通りか。

1. 問題の内容

赤玉4個、白玉4個、黒玉1個、合計9個の玉がある。

(1) これら9個の玉を1列に並べる並べ方は何通りか。

(2) これら9個の玉を紐に通してネックレスを作る場合、何種類のネックレスができるか。ただし、ネックレスを裏返して一致するものは同じものとみなす。

(3) 9個の玉に1から9の番号をつけ、区別できるようにする。この9個から5個を選んで円形に並べる方法は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 1列に並べる場合

9個の玉の並べ方は、同じものを含む順列として計算できる。

$\frac{9!}{4!4!1!}$ を計算する。

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$\frac{9!}{4!4!1!} = \frac{362880}{24 \times 24 \times 1} = \frac{362880}{576} = 630$

(2) ネックレスを作る場合

まず、(1)で求めた630通りを円順列として考える。

円順列なので、9で割る必要があるが、左右対称な並びが存在するため、場合分けして考える。

全体を9で割って2で割ると考えると、$630 \div 9 \div 2 = 35$ となるが、実際には左右対称になる場合とならない場合があり、単純には計算できない。

ここでは、別の考え方を使う。まず、(1)の並び方を固定し、裏返して同じになるものを探す。しかし、これは難しいので、公式に頼る。

ネックレスの場合の数は、(1)の並び方を円順列にした後、裏返しにしても同じものを1つと数えるため、$(総数 + 対象なものの数) / 2$ で求める。

今回は黒玉が一つなので、黒玉を固定して考えると、左右対称になるのは、黒玉の左右に赤玉と白玉が同じ数だけ並ぶときである。つまり、赤玉2個、白玉2個が左右対称に並ぶ場合。赤白の配置は限られており、赤赤白白、赤白白赤、白赤赤白、白白赤赤の6通り。黒玉の位置は固定なので、これらの6通りしかない。

円順列は $\frac{630}{9} = 70$ 通り。

裏返して同じになるものは、黒玉を固定して考えると、$\frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通り。

この中で裏返して同じになるのは、黒玉を中心にして左右対称になる場合。

対称な並び方は赤玉2個、白玉2個が左右対称に並ぶ場合なので、$\frac{4!}{2!2!} \times \frac{1}{2} = 3$

赤赤白白, 赤白赤白, 白白赤赤

ネックレスの種類は $\frac{70+3}{2} = \frac{73}{2} = 36.5$となり、整数にならないので、これは違う。

$\frac{630 + 対称なものの数}{2*9}$を計算する。対称なものは6通りなので、$(630+6)/(2*9) = 636 / 18 = 35.333$

正しい解法は以下になる。

円順列の数え上げ定理を用いる。$N = \frac{1}{9} \sum_{d|9} \phi(d) f(9/d)$

$d = 1, 3, 9$

$\phi(1) = 1, \phi(3) = 2, \phi(9) = 6$

$f(9) = \frac{9!}{4!4!1!} = 630$

$f(3) = \frac{3!}{1!1!1!} = 6$

$f(1) = 0$ （これはありえない）

$N = (1 \times 630 + 2 \times 6 + 6 \times 0) / 9 = (630 + 12) / 9 = 642/9 = 71.3$

$(70+対称の数)/2$

$70+1 = 71 / 2 = 35.5$

$\frac{1}{2} (\frac{8!}{4!4!} - 6) + 6 = 32$

(3) 5個を選んで円形に並べる場合

9個の玉から5個を選ぶ組み合わせは $_9C_5$ で計算できる。

$_9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

選んだ5個を円形に並べる方法は $(5-1)! = 4! = 24$ 通り。

したがって、$126 \times 24 = 3024$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 630通り

(2) 32種類

(3) 3024通り