白玉7個、黒玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ、元に戻さずに2回取り出すとき、白玉が出る回数を確率変数$X$とする。確率変数$X$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

白玉7個、黒玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ、元に戻さずに2回取り出すとき、白玉が出る回数を確率変数$X$とする。確率変数$X$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$の取りうる値を考えます。2回取り出すので、白玉が出る回数は0回、1回、2回のいずれかです。つまり、$X = 0, 1, 2$です。

次に、それぞれの確率を計算します。

* $P(X=0)$: 2回とも黒玉が出る確率。

1回目に黒玉が出る確率は $\frac{3}{10}$。

1回目に黒玉が出たとき、2回目に黒玉が出る確率は $\frac{2}{9}$。

よって、$P(X=0) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$。

* $P(X=1)$: 1回だけ白玉が出る確率。

1回目に白玉が出て2回目に黒玉が出る確率は $\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90}$。

1回目に黒玉が出て2回目に白玉が出る確率は $\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{90}$。

よって、$P(X=1) = \frac{21}{90} + \frac{21}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$。

* $P(X=2)$: 2回とも白玉が出る確率。

1回目に白玉が出る確率は $\frac{7}{10}$。

1回目に白玉が出たとき、2回目に白玉が出る確率は $\frac{6}{9}$。

よって、$P(X=2) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$。

確率変数の期待値$E(X)$は、

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$

で計算できます。

$E(X) = 0 \times \frac{1}{15} + 1 \times \frac{7}{15} + 2 \times \frac{7}{15} = 0 + \frac{7}{15} + \frac{14}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{5}$