男性4人、女性5人で構成されるチームから代表選手3人を選ぶ問題を2つ解きます。 (1) 少なくとも1人は男性が含まれる選び方は何通りか。 (2) 男性と女性がそれぞれ少なくとも1人は含まれる選び方は何通りか。

1. 問題の内容

男性4人、女性5人で構成されるチームから代表選手3人を選ぶ問題を2つ解きます。

(1) 少なくとも1人は男性が含まれる選び方は何通りか。

(2) 男性と女性がそれぞれ少なくとも1人は含まれる選び方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、3人を選ぶすべての組み合わせを計算します。これは、9人から3人を選ぶ組み合わせなので、$_9C_3$です。

次に、3人全員が女性である組み合わせを計算します。これは、5人から3人を選ぶ組み合わせなので、$_5C_3$です。

少なくとも1人男性が含まれる組み合わせは、すべての組み合わせから3人全員が女性である組み合わせを引いたものです。

計算:

$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$84 - 10 = 74$

(2)

男性と女性がそれぞれ少なくとも1人は含まれる選び方は、男性のみまたは女性のみの選び方を全体から引くことで求められます。

全体から男性3人を選ぶ選び方を引き、女性3人を選ぶ選び方を引けば良いです。

男性3人を選ぶ選び方は、$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$

女性3人を選ぶ選び方は、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$

全体の選び方は(1)より84通り。

84 - 4 - 10 = 70

もう一つの解き方としては、

(男性1人、女性2人) + (男性2人、女性1人)で計算できます。

男性1人、女性2人: $_4C_1 \times _5C_2 = 4 \times \frac{5 \times 4}{2} = 4 \times 10 = 40$

男性2人、女性1人: $_4C_2 \times _5C_1 = \frac{4 \times 3}{2} \times 5 = 6 \times 5 = 30$

40 + 30 = 70

3. 最終的な答え

(1) 74通り

(2) 70通り