1から30までの番号が書かれた30枚のカードから、1枚ずつ5回カードを取り出す。取り出したカードは毎回元に戻すとき、偶数のカードがちょうど3回出る確率を求める問題です。

1. 問題の内容

1から30までの番号が書かれた30枚のカードから、1枚ずつ5回カードを取り出す。取り出したカードは毎回元に戻すとき、偶数のカードがちょうど3回出る確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で偶数のカードが出る確率を求めます。1から30までの整数には、偶数が15個、奇数が15個あります。したがって、1回の試行で偶数が出る確率は $15/30 = 1/2$ です。

次に、5回の試行で偶数が3回出る確率を二項分布の考え方を用いて計算します。二項分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、

- $n$ は試行回数（ここでは5）

- $k$ は成功回数（ここでは3、偶数が出る回数）

- $p$ は1回の試行で成功する確率（ここでは1/2、偶数が出る確率）

- $\binom{n}{k}$ は二項係数で、$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数

したがって、求める確率は

$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^{5-3}$

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X = 3) = 10 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = 10 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

3. 最終的な答え

5/16