ある高校の男子学生の身長を30人無作為に調べたところ、標本標準偏差が5cmであった。身長は正規分布に従うと仮定する。母標準偏差を信頼係数95%で区間推定し、(1)下限信頼限界と(2)上限信頼限界を求めよ。

1. 問題の内容

ある高校の男子学生の身長を30人無作為に調べたところ、標本標準偏差が5cmであった。身長は正規分布に従うと仮定する。母標準偏差を信頼係数95%で区間推定し、(1)下限信頼限界と(2)上限信頼限界を求めよ。

2. 解き方の手順

母分散の区間推定には、カイ二乗分布を利用する。

標本サイズを $n$、標本標準偏差を $s$、母標準偏差を $\sigma$ とすると、統計量

$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う。信頼係数95%の場合、$\alpha = 0.05$ となる。

$\chi^2_{\alpha/2, n-1}$ と $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$ をそれぞれ自由度 $n-1$ のカイ二乗分布における $\alpha/2$ 点と $1-\alpha/2$ 点とすると、母分散 $\sigma^2$ の信頼区間は

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

と表される。

この不等式の各項の正の平方根をとると、母標準偏差 $\sigma$ の信頼区間は

$\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}} \le \sigma \le \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}}$

となる。

今回の問題では、$n=30$, $s=5$ である。信頼係数は95%なので、$\alpha = 0.05$ である。

したがって、自由度 $n-1 = 29$ のカイ二乗分布における $0.025$ 点と $0.975$ 点を求める。カイ二乗分布表より、

$\chi^2_{0.025, 29} \approx 45.722$

$\chi^2_{0.975, 29} \approx 16.047$

である。

(1) 下限信頼限界は

$\sqrt{\frac{(30-1)5^2}{45.722}} = \sqrt{\frac{29 \times 25}{45.722}} = \sqrt{\frac{725}{45.722}} \approx \sqrt{15.857} \approx 3.98$

(2) 上限信頼限界は

$\sqrt{\frac{(30-1)5^2}{16.047}} = \sqrt{\frac{29 \times 25}{16.047}} = \sqrt{\frac{725}{16.047}} \approx \sqrt{45.182} \approx 6.72$

3. 最終的な答え

(1) 下限信頼限界: 3.98 cm

(2) 上限信頼限界: 6.72 cm