AとBの2人がサイコロを投げ合うゲームについて、以下のルールが与えられています。 - Aがサイコロを振るとき、出た目が偶数ならば次の回もAが振る。そうでなければBが振る。 - Bがサイコロを振るとき、出た目が1または2ならば次の回もBが振る。そうでなければAが振る。 このとき、Aが$n$回目にサイコロを振る確率と、Bが$n$回目にサイコロを振る確率を求めます。ただし、$n$は1以上の整数です。

1. 問題の内容

AとBの2人がサイコロを投げ合うゲームについて、以下のルールが与えられています。

- Aがサイコロを振るとき、出た目が偶数ならば次の回もAが振る。そうでなければBが振る。

- Bがサイコロを振るとき、出た目が1または2ならば次の回もBが振る。そうでなければAが振る。

このとき、Aが$n$回目にサイコロを振る確率と、Bが$n$回目にサイコロを振る確率を求めます。ただし、$n$は1以上の整数です。

2. 解き方の手順

$n$回目にAがサイコロを振る確率を$a_n$, Bがサイコロを振る確率を$b_n$とします。

まず、$a_1 = 1$、$b_1 = 0$です(最初にAがサイコロを振るため)。

$a_n + b_n = 1$であることも覚えておきましょう。

$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$を用いて表します。

- Aが$n$回目にサイコロを振った場合、出た目が偶数（確率は$\frac{1}{2}$）ならば$n+1$回目もAが振ります。出た目が奇数（確率は$\frac{1}{2}$）ならば$n+1$回目はBが振ります。

- Bが$n$回目にサイコロを振った場合、出た目が1または2（確率は$\frac{1}{3}$）ならば$n+1$回目もBが振ります。出た目が3,4,5,6（確率は$\frac{2}{3}$）ならば$n+1$回目はAが振ります。

したがって、

$$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{2}{3} b_n$$

$$b_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{3} b_n$$

が成り立ちます。

$b_n = 1 - a_n$を$a_{n+1}$の式に代入すると

$$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + \frac{2}{3} (1 - a_n) = \frac{1}{2} a_n + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} a_n = - \frac{1}{6} a_n + \frac{2}{3}$$

この漸化式を解きます。

$a_{n+1} - \alpha = - \frac{1}{6} (a_n - \alpha)$とおくと、$a_{n+1} = -\frac{1}{6} a_n + \frac{5}{6} \alpha$となります。

これが$a_{n+1} = -\frac{1}{6} a_n + \frac{2}{3}$と一致するため、$\frac{5}{6}\alpha = \frac{2}{3}$となり、$\alpha = \frac{4}{5}$。

したがって、数列$\{a_n - \frac{4}{5}\}$は、初項$a_1 - \frac{4}{5} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$、公比$-\frac{1}{6}$の等比数列です。

よって、

$$a_n - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1}$$

$$a_n = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1}$$

$$b_n = 1 - a_n = 1 - \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1}$$

3. 最終的な答え

Aが$n$回目にサイコロを振る確率は、

$$a_n = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1}$$

Bが$n$回目にサイコロを振る確率は、

$$b_n = \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1}$$