5つの数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。 (1) 3桁の整数を作る方法は何通りあるか。 (2) 作った数が偶数である確率、5の倍数である確率、3の倍数である確率をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

5つの数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。

(1) 3桁の整数を作る方法は何通りあるか。

(2) 作った数が偶数である確率、5の倍数である確率、3の倍数である確率をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数を作る総数

5つの数字から3つを選んで並べる順列を考える。

これは $_5P_3$ で計算できる。

$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

したがって、3桁の整数を作る方法は60通り。

(2) 偶数である確率

3桁の整数が偶数になるためには、一の位が偶数でなければならない。

一の位が2または4のいずれかである必要がある。

一の位が2の場合、残りの2つの位は1, 3, 4, 5から2つを選んで並べる。これは $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$通り。

一の位が4の場合、残りの2つの位は1, 2, 3, 5から2つを選んで並べる。これは $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$通り。

したがって、偶数となる3桁の整数は $12 + 12 = 24$通り。

偶数となる確率は $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$。

(3) 5の倍数である確率

3桁の整数が5の倍数になるためには、一の位が5でなければならない。

一の位が5の場合、残りの2つの位は1, 2, 3, 4から2つを選んで並べる。これは $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$通り。

したがって、5の倍数となる3桁の整数は12通り。

5の倍数となる確率は $\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$。

(4) 3の倍数である確率

3桁の整数が3の倍数になるためには、3つの数字の和が3の倍数でなければならない。

選ぶ3つの数字の組み合わせを考えると、

(1, 2, 3) 和は6

(1, 2, 6) (6がないので不可)

(1, 3, 5) 和は9

(1, 4, 5) 和は10 (不可)

(2, 3, 4) 和は9

(2, 4, 5) 和は11 (不可)

(3, 4, 5) 和は12

和が3の倍数になる組み合わせは(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5)の4通り。

それぞれの組み合わせから3桁の整数を作る方法は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通り。

したがって、3の倍数となる3桁の整数は $4 \times 6 = 24$通り。

3の倍数となる確率は $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$。

3. 最終的な答え

* 3桁の整数を作る方法は 60 通り

* 偶数である確率は $\frac{2}{5}$

* 5の倍数である確率は $\frac{1}{5}$

* 3の倍数である確率は $\frac{2}{5}$