ある年の統計学期末試験の結果が、平均点70点、標準偏差10点の正規分布に従うとする。 (1) 試験を受けた者の95%の得点は、正規分布の期待値（平均）±何点の範囲に分布しているかを求める。 (2) 59点以下の答案は全体の何%程度に当たるかを求める。

1. 問題の内容

ある年の統計学期末試験の結果が、平均点70点、標準偏差10点の正規分布に従うとする。

(1) 試験を受けた者の95%の得点は、正規分布の期待値（平均）±何点の範囲に分布しているかを求める。

(2) 59点以下の答案は全体の何%程度に当たるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 正規分布において、平均値±1.96×標準偏差の範囲に約95%のデータが含まれる。したがって、

$70 \pm 1.96 \times 10 = 70 \pm 19.6$

95%の得点は、70点±19.6点の範囲に分布している。

(2) 59点が平均からどの程度離れているかを標準偏差で測る。これは、59点を標準化することに相当する。

$z = \frac{59 - 70}{10} = \frac{-11}{10} = -1.1$

標準正規分布表を用いて、z = -1.1に対応する確率を求める。標準正規分布表から、P(z < -1.1) = 0.1357である。したがって、59点以下の答案は全体の約13.57%程度にあたる。

3. 最終的な答え

(1) 19.6点

(2) 13.57%