AチームとBチームがバレーの試合をする。各セットでAチームが勝つ確率は $1/3$ である。3セットを先取した方が試合の勝者となるとき、Aチームが勝者となる確率を求める。

1. 問題の内容

AチームとBチームがバレーの試合をする。各セットでAチームが勝つ確率は $1/3$ である。3セットを先取した方が試合の勝者となるとき、Aチームが勝者となる確率を求める。

2. 解き方の手順

Aチームが勝者となるには、3セットを先取する必要がある。Aチームが勝つパターンは以下の通り。

* 3セット目でAチームが勝つ(3連勝): 確率は $(1/3)^3$

* 4セット目でAチームが勝つ(3勝1敗): 4セット目でAチームが勝ち、かつ最初の3セットでAチームが2勝1敗となる必要がある。最初の3セットでAチームが2勝1敗となる確率は ${}_3C_2 (1/3)^2 (2/3)^1$。したがって、4セット目でAチームが勝つ確率は ${}_3C_2 (1/3)^2 (2/3)^1 (1/3) = 3 (1/9) (2/3) (1/3) = 6/81 = 2/27$

* 5セット目でAチームが勝つ(3勝2敗): 5セット目でAチームが勝ち、かつ最初の4セットでAチームが2勝2敗となる必要がある。最初の4セットでAチームが2勝2敗となる確率は ${}_4C_2 (1/3)^2 (2/3)^2$。したがって、5セット目でAチームが勝つ確率は ${}_4C_2 (1/3)^2 (2/3)^2 (1/3) = 6 (1/9) (4/9) (1/3) = 24/243 = 8/81$

したがって、Aチームが勝つ確率は上記の確率の和となる。

$P(A) = (1/3)^3 + {}_3C_2 (1/3)^3 (2/3) + {}_4C_2 (1/3)^3 (2/3)^2$

$= 1/27 + 3(1/27)(2/3) + 6(1/27)(4/9)$

$= 1/27 + 6/81 + 24/243$

$= (9 + 18 + 24)/243$

$= 51/243$

$= 17/81$

3. 最終的な答え

17

81