与えられた図は、いくつかの離散確率分布間の関係を示しています。それぞれの箱（ア～キ）に当てはまる確率分布を、選択肢（a～h）の中から選び、図を完成させる問題です。

1. 問題の内容

与えられた図は、いくつかの離散確率分布間の関係を示しています。それぞれの箱（ア～キ）に当てはまる確率分布を、選択肢（a～h）の中から選び、図を完成させる問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた選択肢の確率分布を理解します。

* a. 二項分布 $B(k; n, p)$：$n$回の独立なベルヌーイ試行で成功する回数$k$の分布。

* b. 超幾何分布 $H(k; N, M, n)$：$N$個中$M$個の当たりがある集団から、$n$個を非復元抽出したとき、当たりが$k$個含まれる確率の分布。

* c. 幾何分布 $Geo(k; p')$：成功確率$p'$のベルヌーイ試行を繰り返したとき、初めて成功するまでに失敗する回数$k$の分布。または、初めて成功するのが$k$回目の試行である確率の分布。

* d. Polya-Eggenberger分布 $PE(k; N, M, n, d)$：壺の中に$N$個の玉があり、そのうち$M$個が当たりの玉であるとする。玉を一つ取り出し、$d$個の玉を戻すという試行を$n$回繰り返すとき、当たり玉を$k$個得る確率の分布。

* e. 負の二項分布 $NB(k; n', p')$：成功確率$p'$のベルヌーイ試行を繰り返したとき、$n'$回成功するまでに失敗する回数$k$の分布。

* f. 正規分布 $N(x; np, np(1-p))$：二項分布の$n$が大きいときの近似。

* g. ポアソン分布 $Pois(k; \lambda)$：単位時間あたり平均$\lambda$回起こる事象が、$k$回起こる確率の分布。

* h. ベルヌーイ分布：試行の結果が成功か失敗の2通りしかないような試行を1回行ったときの確率分布。

次に、図中の矢印と条件を考慮して、それぞれの箱に適切な分布を割り当てます。

* ア：条件$M = pN$, $d=0$ で ウ につながっていることから、超幾何分布 $H(k; N, M, n)$ の$N$が大きいときの近似である二項分布 $B(k; n, p)$ が考えられます。

* イ：条件$M = pN$, $d=0$で エ につながっているので、超幾何分布 $H(k; N, M, n)$ の$N$が大きいときの近似である二項分布 $B(k; n, p)$ が考えられます。

* ウ：条件$M = \lambda N / n$、$N \to \infty$、$n \to \infty$でオにつながっており、アから条件 $d = -1$ でつながっていることから、Polya-Eggenberger分布 $PE(k; N, M, n, d)$ が考えられます。$d = -1$は、非復元抽出にあたります。

* エ：条件$n = -\grave{n}$, $p = (p'-1)/p'$でキにつながっており、$n=1$でイからつながっているので、幾何分布 $Geo(k; p')$が考えられます。$n=1$より、ベルヌーイ分布も考えられます。

* オ：条件$p' = 1 - \lambda/n'$、$n' \to \infty$でキにつながっていることから、ポアソン分布 $Pois(k; \lambda)$ が考えられます。

* カ：条件$p = \lambda/n$、$n \to \infty$でオにつながっていることから、正規分布 $N(x; np, np(1-p))$ が考えられます。

* キ：条件$n' = 1$でエにつながっていることから、負の二項分布$NB(k; n', p')$が考えられます。$n'=1$より、幾何分布も考えられます。また、条件$n'=1$より、ベルヌーイ分布も考えられます。

3. 最終的な答え

ア：b (超幾何分布)

イ：a (二項分布)

ウ：d (Polya-Eggenberger分布)

エ：h (ベルヌーイ分布)

オ：g (ポアソン分布)

カ：f (正規分布)

キ：e (負の二項分布)