ある町の大通りを1km歩くと、平均5軒のスターバックスがある。この通りを100m歩いたとき、2軒以上のスターバックスがある確率を、ポアソン分布を仮定して求めよ。

1. 問題の内容

ある町の大通りを1km歩くと、平均5軒のスターバックスがある。この通りを100m歩いたとき、2軒以上のスターバックスがある確率を、ポアソン分布を仮定して求めよ。

2. 解き方の手順

まず、100mあたりにスターバックスがある平均軒数 $\lambda$ を計算する。1km = 1000m であり、1000mあたり平均5軒なので、100mあたりでは、

$\lambda = \frac{5}{1000} \times 100 = 0.5$

次に、ポアソン分布における確率質量関数を定義する。$k$ 軒のスターバックスがある確率 $P(X=k)$ は、

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$

ここで、$e$ はネイピア数である。問題では、2軒以上のスターバックスがある確率を求めたいので、これは「1 - (0軒の確率 + 1軒の確率)」として計算できる。つまり、

$P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$

$P(X=0) = \frac{e^{-0.5}(0.5)^0}{0!} = e^{-0.5}$

$P(X=1) = \frac{e^{-0.5}(0.5)^1}{1!} = 0.5e^{-0.5}$

したがって、

$P(X \geq 2) = 1 - (e^{-0.5} + 0.5e^{-0.5}) = 1 - 1.5e^{-0.5}$

$e^{-0.5} \approx 0.6065$ なので、

$P(X \geq 2) = 1 - 1.5 \times 0.6065 = 1 - 0.90975 = 0.09025$

3. 最終的な答え

0.090