(1) 二項分布の確率質量関数 $P(X=k) = {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k}$ の総和が1であることを、二項定理 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k y^{n-k}$ を用いて示す。 (2) ベルヌーイ分布の確率質量関数 $P(X=k) = p^k (1-p)^{1-k}$ ($k \in \{0,1\}$) に従う確率変数 $X$ の期待値を求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) 二項分布の確率質量関数 $P(X=k) = {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k}$ の総和が1であることを、二項定理 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k y^{n-k}$ を用いて示す。

(2) ベルヌーイ分布の確率質量関数 $P(X=k) = p^k (1-p)^{1-k}$ ($k \in \{0,1\}$) に従う確率変数 $X$ の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項分布の確率の総和を計算する。

確率の総和は、

$\sum_{k=0}^n P(X=k) = \sum_{k=0}^n {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k}$

二項定理 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k y^{n-k}$ を利用する。

ここで $x = p$ , $y = 1-p$ とすると、

$\sum_{k=0}^n {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1^n = 1$

したがって、二項分布の確率の総和は1であることが示された。

(2) ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X$ の期待値を計算する。

期待値 $E[X]$ は、

$E[X] = \sum_{k} k P(X=k)$

ベルヌーイ分布では $k \in \{0, 1\}$ なので、

$E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1)$

$P(X=0) = p^0 (1-p)^{1-0} = (1-p)$

$P(X=1) = p^1 (1-p)^{1-1} = p$

したがって、

$E[X] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = 0 + p = p$

3. 最終的な答え

(1) 二項分布の確率の総和は1である。

(2) ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X$ の期待値は $p$ である。