確率変数 $X, Y$ が互いに独立で正規分布に従うとき、$aX + bY + c$ ($a, b, c$ は実数) もまた正規分布に従うことが分かっている。$E[X] = 0$, $Var(X) = 1$, $E[Y] = 10$, $Var(Y) = 4$ として、以下の問いに答える。 (1) 正規分布表を用いて $P(-2 \le X < 3)$ と $P(15 \le Y < 16)$ を求める。 (2) $Z = 6X + 4Y - 5$ の期待値と標準偏差を求める。 (3) 正規分布表を用いて $P(Z \ge 54.6)$ を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X, Y$ が互いに独立で正規分布に従うとき、$aX + bY + c$ ($a, b, c$ は実数) もまた正規分布に従うことが分かっている。$E[X] = 0$, $Var(X) = 1$, $E[Y] = 10$, $Var(Y) = 4$ として、以下の問いに答える。

(1) 正規分布表を用いて $P(-2 \le X < 3)$ と $P(15 \le Y < 16)$ を求める。

(2) $Z = 6X + 4Y - 5$ の期待値と標準偏差を求める。

(3) 正規分布表を用いて $P(Z \ge 54.6)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X$ は正規分布 $N(0, 1)$ に従い、$Y$ は正規分布 $N(10, 4)$ に従う。

$P(-2 \le X < 3)$ を求めるには、標準化された確率変数 $Z = \frac{X - 0}{1} = X$ を用いる。

$P(-2 \le X < 3) = P(-2 \le Z < 3) = \Phi(3) - \Phi(-2) = \Phi(3) - (1 - \Phi(2))$

ここで、$\Phi(x)$ は標準正規分布の累積分布関数を表す。$\Phi(3) \approx 0.9987$, $\Phi(2) \approx 0.9772$ であるので、

$P(-2 \le X < 3) = 0.9987 - (1 - 0.9772) = 0.9987 - 0.0228 = 0.9759$

$P(15 \le Y < 16)$ を求めるには、$Y$ を標準化する。$Z = \frac{Y - 10}{2}$

$P(15 \le Y < 16) = P(\frac{15-10}{2} \le \frac{Y - 10}{2} < \frac{16-10}{2}) = P(2.5 \le Z < 3) = \Phi(3) - \Phi(2.5)$

$\Phi(3) \approx 0.9987$, $\Phi(2.5) \approx 0.9938$ であるので、

$P(15 \le Y < 16) = 0.9987 - 0.9938 = 0.0049$

(2) $Z = 6X + 4Y - 5$ の期待値と標準偏差を求める。

$E[Z] = E[6X + 4Y - 5] = 6E[X] + 4E[Y] - 5 = 6(0) + 4(10) - 5 = 40 - 5 = 35$

$Var(Z) = Var(6X + 4Y - 5) = 6^2Var(X) + 4^2Var(Y) = 36Var(X) + 16Var(Y) = 36(1) + 16(4) = 36 + 64 = 100$

したがって、標準偏差は $\sqrt{Var(Z)} = \sqrt{100} = 10$

(3) $Z$ は正規分布 $N(35, 100)$ に従う。$P(Z \ge 54.6)$ を求める。

$P(Z \ge 54.6) = P(\frac{Z - 35}{10} \ge \frac{54.6 - 35}{10}) = P(Z' \ge \frac{19.6}{10}) = P(Z' \ge 1.96)$

ここで、$Z'$ は標準正規分布に従う。

$P(Z' \ge 1.96) = 1 - \Phi(1.96) = 1 - 0.9750 = 0.0250$

3. 最終的な答え

(1) $P(-2 \le X < 3) = 0.9759$, $P(15 \le Y < 16) = 0.0049$

(2) $E[Z] = 35$, $SD[Z] = 10$

(3) $P(Z \ge 54.6) = 0.0250$