$n$個の袋があり、各袋には白玉が2個、赤玉が$2n-2$個入っている。各袋から1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である確率を$p_n$とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} p_n$を求める。

1. 問題の内容

$n$個の袋があり、各袋には白玉が2個、赤玉が$2n-2$個入っている。各袋から1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である確率を$p_n$とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} p_n$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$n$個の袋から玉を1個ずつ取り出すとき、白玉をちょうど$k$個取り出す確率を考える。これは二項分布に従う。

$p_n$は、$n$個の袋から玉を1個ずつ取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である確率なので、以下の式で表される。

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p_n = \binom{n}{2} \left(\frac{2}{2n}\right)^2 \left(\frac{2n-2}{2n}\right)^{n-2}

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p_n = \frac{n(n-1)}{2} \left(\frac{1}{n}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-2}

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p_n = \frac{n(n-1)}{2n^2} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-2}

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p_n = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-2}

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p_n = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-1}

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ここで、$n \to \infty$の極限を考えると、

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\lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-1}

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\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} = e^{-1}

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より、

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\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-1} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-1} = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}

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よって、

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\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2e}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{2e}$