1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、計5枚箱に入っている。箱から1枚カードを取り出し、数字を確認後、カードを箱に戻す操作を繰り返す。$n$ 回目に取り出したカードの数字を $a_n$ とする。以下の確率を求めよ。 (1) $a_1 + a_2$ が偶数となる確率 (2) $a_1 + a_2$ が3の倍数となる確率 (3) $a_1 + a_2 + a_3$ が6の倍数となる確率 (4) $a_1 + a_2 + a_3$ が3の倍数となる確率

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、計5枚箱に入っている。箱から1枚カードを取り出し、数字を確認後、カードを箱に戻す操作を繰り返す。$n$ 回目に取り出したカードの数字を $a_n$ とする。以下の確率を求めよ。

(1) $a_1 + a_2$ が偶数となる確率

(2) $a_1 + a_2$ が3の倍数となる確率

(3) $a_1 + a_2 + a_3$ が6の倍数となる確率

(4) $a_1 + a_2 + a_3$ が3の倍数となる確率

2. 解き方の手順

(1) $a_1 + a_2$ が偶数となるのは、$a_1$ と $a_2$ が共に偶数、または共に奇数の場合である。

- $a_1$ が偶数となる確率は $\frac{2}{5}$ 、奇数となる確率は $\frac{3}{5}$ である。

- $a_2$ も同様に、偶数となる確率は $\frac{2}{5}$ 、奇数となる確率は $\frac{3}{5}$ である。

- よって、$a_1 + a_2$ が偶数となる確率は、

$\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$

(2) $a_1 + a_2$ が3の倍数となるのは、$a_1 + a_2 = 3, 6, 9$ となる場合である。

- $a_1 + a_2 = 3$ となる組み合わせ: (1, 2), (2, 1) の2通り

- $a_1 + a_2 = 6$ となる組み合わせ: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) の5通り

- $a_1 + a_2 = 9$ となる組み合わせ: (4, 5), (5, 4) の2通り

- よって、確率は $\frac{2+5+2}{25} = \frac{9}{25}$

(3) $a_1 + a_2 + a_3$ が6の倍数となるのは、$a_1 + a_2 + a_3 = 6, 12, 18$ となる場合である。計算を簡単にするために、全パターンから計算しやすいものを引いていく。

- 全ての組み合わせは $5 \times 5 \times 5 = 125$ 通り。

- $a_1 + a_2 + a_3 = 6$: (1, 1, 4)とその並び替え3通り, (1, 2, 3)とその並び替え6通り, (2, 2, 2)1通り. 合計10通り.

- $a_1 + a_2 + a_3 = 12$: (1, 5, 6)ありえない, (2, 5, 5)並び替え3通り, (3, 4, 5)並び替え6通り, (4, 4, 4)1通り, (2, 4, 6)ありえない, (3,3,6)ありえない. 合計10通り.

- $a_1 + a_2 + a_3 = 18$: (5, 5, 8)ありえない, (5, 5, 5)ではない.

- よって、確率は $\frac{10+10+5}{125} = \frac{22}{125}$ではない.

別解:

$a_1+a_2+a_3$ が 6 の倍数になる組み合わせは次の通り。

(1, 1, 4), (1, 2, 3), (2, 2, 2), (2, 3, 1), (2, 4, X), (2, 5, X), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (3, 3, X), (3, 4, 5), (3, 5, 4), (4, 1, 1), (4, 2, X), (4, 3, 5), (4, 4, X), (4, 5, 3), (5, 1, X), (5, 2, X), (5, 3, 4), (5, 4, 3), (5, 5, 2)

(1, 1, 4)の並び替えは 3通り

(1, 2, 3)の並び替えは 6通り

(2, 2, 2)の並び替えは 1通り

(3, 4, 5)の並び替えは 6通り

(5, 5, 2)の並び替えは 3通り

よって確率は (3+6+1+6+3) / 125 = 19/125ではない。答えは4/25でもない。

正解は4/25。

確率は $4/25$

(4) $a_1 + a_2 + a_3$ が3の倍数となる確率は、(3)と同様に考えると複雑になるため、余事象を考える。全事象から3の倍数にならない確率を引くのは難しい。

$a_1 + a_2 + a_3$ が3の倍数となる条件は、

$a_1 + a_2 + a_3 = 3k$ (kは整数)

$a_i \equiv 0, 1, 2 \pmod 3$ で考えると、

(0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2), (0, 1, 2)の並び替え

1, 2, 3, 4, 5を3で割った余りは、1, 2, 0, 1, 2

余り0は1個, 余り1は2個, 余り2は2個

(0, 0, 0)の確率は $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125}$

(1, 1, 1)の確率は $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{125}$

(2, 2, 2)の確率は $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{125}$

(0, 1, 2)の確率は $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \times 6 = \frac{24}{125}$

合計: $\frac{1+8+8+24}{125} = \frac{41}{125}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{13}{25}$

(2) $\frac{9}{25}$

(3) $\frac{22}{125}$ -> $\frac{4}{25}$ に訂正

(4) $\frac{41}{125}$