(1) 表が出る確率が $q$ であるコインを $n$ 回投げる。表が出れば500円貰え、裏が出れば200円を支払う。参加費が1000円のギャンブルに参加することが得になる ($q, n$) の条件を求める。 (2) 晴れる確率が1/2、雨が降る確率が1/2の状況で、晴れの日の市場需要は $X = 20 - p$ (pは価格)。雨の日の市場需要は不明。生産費用は0。

1. 問題の内容

(1) 表が出る確率が $q$ であるコインを $n$ 回投げる。表が出れば500円貰え、裏が出れば200円を支払う。参加費が1000円のギャンブルに参加することが得になる ($q, n$) の条件を求める。

(2) 晴れる確率が1/2、雨が降る確率が1/2の状況で、晴れの日の市場需要は $X = 20 - p$ (pは価格)。雨の日の市場需要は不明。生産費用は0。

2. 解き方の手順

(1) ギャンブルに参加することが得になる条件を求める。

まず、$n$ 回の試行で表が $k$ 回出る確率を考える。これは二項分布に従い、$P(X=k) = \binom{n}{k} q^k (1-q)^{n-k}$ で表される。

次に、表が $k$ 回出た時の利益を計算する。利益は $500k - 200(n-k) - 1000$ となる。

ギャンブルに参加することが得になるためには、期待される利益が0より大きくなければならない。つまり、

$E[利益] = \sum_{k=0}^{n} (500k - 200(n-k) - 1000) \binom{n}{k} q^k (1-q)^{n-k} > 0$

これを整理する。

$E[利益] = \sum_{k=0}^{n} (700k - 200n - 1000) \binom{n}{k} q^k (1-q)^{n-k} > 0$

$700 \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} q^k (1-q)^{n-k} - (200n + 1000) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} q^k (1-q)^{n-k} > 0$

ここで、$\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} q^k (1-q)^{n-k} = nq$ であり、$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} q^k (1-q)^{n-k} = 1$ であるから、

$700nq - (200n + 1000) > 0$

$700nq > 200n + 1000$

$7nq > 2n + 10$

$q > \frac{2n + 10}{7n}$

(2) 問題文が不完全なため、解けません。

3. 最終的な答え

(1) $q > \frac{2n + 10}{7n}$

(2) 解けない