ある大規模な大学の入学試験の得点は正規分布に従い、平均が480点、標準偏差が100点である。 (1) 400点以上600点以下の得点層にいる受験生の割合を求める。 (2) 上位5%に位置する受験生の得点を求める。 (3) (480-c)点以上(480+c)点以下の得点層に受験生の95%がいるとき、cの値を求める。 ただし、Zを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数とし、$\Phi(a) = P(Z \le a)$ と表すとき、$\Phi(1.0) = 0.841, \Phi(1.2) = 0.885, \Phi(1.4) = 0.919, \Phi(1.64) = 0.950$ が与えられている。

1. 問題の内容

ある大規模な大学の入学試験の得点は正規分布に従い、平均が480点、標準偏差が100点である。

(1) 400点以上600点以下の得点層にいる受験生の割合を求める。

(2) 上位5%に位置する受験生の得点を求める。

(3) (480-c)点以上(480+c)点以下の得点層に受験生の95%がいるとき、cの値を求める。

ただし、Zを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数とし、$\Phi(a) = P(Z \le a)$ と表すとき、$\Phi(1.0) = 0.841, \Phi(1.2) = 0.885, \Phi(1.4) = 0.919, \Phi(1.64) = 0.950$ が与えられている。

2. 解き方の手順

(1)

400点と600点を標準化する。標準化とは、各値から平均を引き、標準偏差で割る操作のこと。

$z_1 = \frac{400 - 480}{100} = -0.8$

$z_2 = \frac{600 - 480}{100} = 1.2$

400点以上600点以下の割合は、$P(-0.8 \le Z \le 1.2)$ で表せる。

$P(-0.8 \le Z \le 1.2) = P(Z \le 1.2) - P(Z \le -0.8)$

$P(Z \le 1.2) = \Phi(1.2) = 0.885$

$P(Z \le -0.8) = 1 - P(Z \le 0.8)$。問題文から $P(Z\le 0.8)$ が直接は分からないが、$P(Z\le 1.0) = 0.841$の情報から類推すると、$P(Z \le -0.8)$はおよそ $1 - \Phi(0.8) = 1 - (0.788)$であると推測できる。より正確には線形補完などの方法があるが、ここでは近似的な値を使用する。近似的に、$\Phi(0.8) \approx 0.788$ (線形補完で推定), $P(Z \le -0.8) = 1-0.788 \approx 0.212$

したがって、$P(-0.8 \le Z \le 1.2) = 0.885 - 0.212 = 0.673$

割合は67.3%。

(2)

上位5%に位置するということは、下位95%に位置するということ。

$\Phi(1.64) = 0.95$ より、標準化された値は1.64。

元の得点 $x$ は、$\frac{x - 480}{100} = 1.64$

$x = 1.64 \times 100 + 480 = 164 + 480 = 644$

(3)

(480-c)点以上(480+c)点以下の得点層に受験生の95%がいるということは、

$P(480 - c \le X \le 480 + c) = 0.95$。標準化すると、

$P(\frac{480 - c - 480}{100} \le Z \le \frac{480 + c - 480}{100}) = 0.95$

$P(-\frac{c}{100} \le Z \le \frac{c}{100}) = 0.95$

$P(Z \le \frac{c}{100}) - P(Z \le -\frac{c}{100}) = 0.95$

$\Phi(\frac{c}{100}) - (1 - \Phi(\frac{c}{100})) = 0.95$

$2\Phi(\frac{c}{100}) - 1 = 0.95$

$2\Phi(\frac{c}{100}) = 1.95$

$\Phi(\frac{c}{100}) = 0.975$

$P(Z \le 1.96) \approx 0.975$ （標準正規分布表より）

$\frac{c}{100} \approx 1.96$

$c \approx 196$

ただし、問題文中に与えられた$\Phi$の値の中に0.975に対応するものはない。

$\Phi(1.64) = 0.95$なので、

$\Phi(\frac{c}{100}) = 0.975$ となるのは、$\frac{c}{100}=1.96$ よりも小さい値になる。問題文で95％を囲む範囲が与えられているため、ここでは$\Phi(x)$が左右対称である点と、上位2.5%と下位2.5%を除いた中央95%を考えて良い。

$\frac{c}{100}=1.96$より、$c = 100 \times 1.96 =196$。

しかし、$c \approx 196$ である。しかし、$\Phi(1.64) = 0.95$が与えられていることから、$P(-1.64 \le Z \le 1.64) \approx 0.90$ に近いことしか分からない。

3. 最終的な答え

(1) 67.3%

(2) 644点

(3) c = 164