与えられたデータに基づいて、以下の値を計算します。 (1) 変数 $x$ の平均と分散。 (2) 変数 $x$ と $y$ の共分散と相関係数。

1. 問題の内容

与えられたデータに基づいて、以下の値を計算します。

(1) 変数 $x$ の平均と分散。

(2) 変数 $x$ と $y$ の共分散と相関係数。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の平均と分散を求める。

* $x$ の平均 $\bar{x}$ を計算する。

$\bar{x} = \frac{(-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4}{10} = \frac{-5}{10} = -0.5$

* $x$ の分散 $s_x^2$ を計算する。分散は、各データ点と平均との差の二乗平均です。

$s_x^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2}{10}$

$s_x^2 = \frac{(-5-(-0.5))^2 + (-4-(-0.5))^2 + (-3-(-0.5))^2 + (-2-(-0.5))^2 + (-1-(-0.5))^2 + (0-(-0.5))^2 + (1-(-0.5))^2 + (2-(-0.5))^2 + (3-(-0.5))^2 + (4-(-0.5))^2}{10}$

$s_x^2 = \frac{(-4.5)^2 + (-3.5)^2 + (-2.5)^2 + (-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2 + (2.5)^2 + (3.5)^2 + (4.5)^2}{10}$

$s_x^2 = \frac{20.25 + 12.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25 + 20.25}{10} = \frac{82.5}{10} = 8.25$

(2) $x$ と $y$ の共分散と相関係数を求める。

* $y$ の平均 $\bar{y}$ を計算する。

$\bar{y} = \frac{(-1) + (-4) + 2 + 4 + (-2) + (-3) + 1 + (-5) + 3 + 0}{10} = \frac{-5}{10} = -0.5$

* $x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ を計算する。

$s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{10}$

$s_{xy} = \frac{(-5-(-0.5))(-1-(-0.5)) + (-4-(-0.5))(-4-(-0.5)) + (-3-(-0.5))(2-(-0.5)) + (-2-(-0.5))(4-(-0.5)) + (-1-(-0.5))(-2-(-0.5)) + (0-(-0.5))(-3-(-0.5)) + (1-(-0.5))(1-(-0.5)) + (2-(-0.5))(-5-(-0.5)) + (3-(-0.5))(3-(-0.5)) + (4-(-0.5))(0-(-0.5))}{10}$

$s_{xy} = \frac{(-4.5)(-0.5) + (-3.5)(-3.5) + (-2.5)(2.5) + (-1.5)(4.5) + (-0.5)(-1.5) + (0.5)(-2.5) + (1.5)(1.5) + (2.5)(-4.5) + (3.5)(3.5) + (4.5)(0.5)}{10}$

$s_{xy} = \frac{2.25 + 12.25 - 6.25 - 6.75 + 0.75 - 1.25 + 2.25 - 11.25 + 12.25 + 2.25}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$

* $y$ の分散 $s_y^2$ を計算する。（相関係数を計算するために必要）

$s_y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} (y_i - \bar{y})^2}{10}$

$s_y^2 = \frac{(-1-(-0.5))^2 + (-4-(-0.5))^2 + (2-(-0.5))^2 + (4-(-0.5))^2 + (-2-(-0.5))^2 + (-3-(-0.5))^2 + (1-(-0.5))^2 + (-5-(-0.5))^2 + (3-(-0.5))^2 + (0-(-0.5))^2}{10}$

$s_y^2 = \frac{(-0.5)^2 + (-3.5)^2 + (2.5)^2 + (4.5)^2 + (-1.5)^2 + (-2.5)^2 + (1.5)^2 + (-4.5)^2 + (3.5)^2 + (0.5)^2}{10}$

$s_y^2 = \frac{0.25 + 12.25 + 6.25 + 20.25 + 2.25 + 6.25 + 2.25 + 20.25 + 12.25 + 0.25}{10} = \frac{82.5}{10} = 8.25$

* $x$ と $y$ の相関係数 $r_{xy}$ を計算する。

$r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{0.6}{\sqrt{8.25} \sqrt{8.25}} = \frac{0.6}{8.25} \approx 0.0727$

3. 最終的な答え

(1) $x$ の平均: $\bar{x} = -0.5$

$x$ の分散: $s_x^2 = 8.25$

(2) $x$ と $y$ の共分散: $s_{xy} = 0.6$

$x$ と $y$ の相関係数: $r_{xy} \approx 0.0727$