袋の中に赤玉が3個、白玉が2個入っている。袋から1個の玉を取り出し、色を確認して元に戻す、という試行を5回繰り返す。白玉が出る回数を確率変数$X$とする。確率変数$X$の確率分布表を作成し、期待値（平均）を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が3個、白玉が2個入っている。袋から1個の玉を取り出し、色を確認して元に戻す、という試行を5回繰り返す。白玉が出る回数を確率変数$X$とする。確率変数$X$の確率分布表を作成し、期待値（平均）を求めよ。

2. 解き方の手順

この試行は、ベルヌーイ試行を5回繰り返す反復試行である。

1回の試行で白玉が出る確率は $p = \frac{2}{5}$である。

白玉が出ない確率は $q = 1-p = \frac{3}{5}$である。

確率変数$X$は二項分布 $B(5, \frac{2}{5})$に従う。

$X=k$ となる確率 $P(X=k)$ は、次の式で表される。

$P(X=k) = {}_5C_k (\frac{2}{5})^k (\frac{3}{5})^{5-k}$

ここで、$k=0,1,2,3,4,5$である。

確率分布表を作成し、期待値を計算する。

期待値 $E(X)$ は $E(X) = np = 5 \times \frac{2}{5} = 2$で求められる。

各$k$に対する確率を計算する。

$P(X=0) = {}_5C_0 (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^5 = 1 \times 1 \times \frac{243}{3125} = \frac{243}{3125}$

$P(X=1) = {}_5C_1 (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^4 = 5 \times \frac{2}{5} \times \frac{81}{625} = \frac{810}{3125}$

$P(X=2) = {}_5C_2 (\frac{2}{5})^2 (\frac{3}{5})^3 = 10 \times \frac{4}{25} \times \frac{27}{125} = \frac{1080}{3125}$

$P(X=3) = {}_5C_3 (\frac{2}{5})^3 (\frac{3}{5})^2 = 10 \times \frac{8}{125} \times \frac{9}{25} = \frac{720}{3125}$

$P(X=4) = {}_5C_4 (\frac{2}{5})^4 (\frac{3}{5})^1 = 5 \times \frac{16}{625} \times \frac{3}{5} = \frac{240}{3125}$

$P(X=5) = {}_5C_5 (\frac{2}{5})^5 (\frac{3}{5})^0 = 1 \times \frac{32}{3125} \times 1 = \frac{32}{3125}$

確率分布表：

| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

|-----|----------|-----------|-----------|-----------|----------|---------|

| P(X) | 243/3125 | 810/3125 | 1080/3125 | 720/3125 | 240/3125 | 32/3125 |

期待値：

$E(X) = \sum_{k=0}^5 k \cdot P(X=k)$

$E(X) = 0 \cdot \frac{243}{3125} + 1 \cdot \frac{810}{3125} + 2 \cdot \frac{1080}{3125} + 3 \cdot \frac{720}{3125} + 4 \cdot \frac{240}{3125} + 5 \cdot \frac{32}{3125}$

$E(X) = \frac{0 + 810 + 2160 + 2160 + 960 + 160}{3125} = \frac{6250}{3125} = 2$

3. 最終的な答え

確率分布表：

| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

|-----|----------|-----------|-----------|-----------|----------|---------|

| P(X) | 243/3125 | 810/3125 | 1080/3125 | 720/3125 | 240/3125 | 32/3125 |

期待値：2