大小2個のサイコロを1回投げるとき、出る目の和の期待値を、確率分布表を用いて求めよ。

1. 問題の内容

大小2個のサイコロを1回投げるとき、出る目の和の期待値を、確率分布表を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、大小2個のサイコロの目の出方のすべての組み合わせを考えます。それぞれの場合について目の和を計算します。目の和は最小で2 (1+1)、最大で12 (6+6)になります。

次に、各和が出る確率を計算します。大小のサイコロの組み合わせは $6 \times 6 = 36$ 通りあります。各和について、その和になる組み合わせの数を数え、確率を計算します。

- 和が2になるのは(1,1)の1通りなので、確率は $1/36$。

- 和が3になるのは(1,2),(2,1)の2通りなので、確率は $2/36$。

- 和が4になるのは(1,3),(2,2),(3,1)の3通りなので、確率は $3/36$。

- 和が5になるのは(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)の4通りなので、確率は $4/36$。

- 和が6になるのは(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)の5通りなので、確率は $5/36$。

- 和が7になるのは(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)の6通りなので、確率は $6/36$。

- 和が8になるのは(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)の5通りなので、確率は $5/36$。

- 和が9になるのは(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)の4通りなので、確率は $4/36$。

- 和が10になるのは(4,6),(5,5),(6,4)の3通りなので、確率は $3/36$。

- 和が11になるのは(5,6),(6,5)の2通りなので、確率は $2/36$。

- 和が12になるのは(6,6)の1通りなので、確率は $1/36$。

確率分布表は以下のようになります。

| 目の和 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| 確率 | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |

期待値は、各目の和とその確率の積の総和で求められます。

期待値 $E$ は、

$$$$

E = \sum_{i=2}^{12} i \cdot P(i)

$$$$

$E = 2 \cdot (1/36) + 3 \cdot (2/36) + 4 \cdot (3/36) + 5 \cdot (4/36) + 6 \cdot (5/36) + 7 \cdot (6/36) + 8 \cdot (5/36) + 9 \cdot (4/36) + 10 \cdot (3/36) + 11 \cdot (2/36) + 12 \cdot (1/36)$

$E = (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12) / 36$

$E = 252 / 36$

$E = 7$

3. 最終的な答え

期待値は7です。