AとBがサイコロを投げ合うゲームをする。1回目はAが投げる。Aがサイコロを振ったとき、偶数が出れば次の回もAが投げる。奇数が出れば次はBが投げる。Bがサイコロを振ったとき、1または2が出れば次の回もBが投げる。3,4,5,6が出れば次はAが投げる。Aがn回目にサイコロを振る確率とBがn回目にサイコロを振る確率を求めよ。ただしnは1以上の整数とする。

1. 問題の内容

AとBがサイコロを投げ合うゲームをする。1回目はAが投げる。Aがサイコロを振ったとき、偶数が出れば次の回もAが投げる。奇数が出れば次はBが投げる。Bがサイコロを振ったとき、1または2が出れば次の回もBが投げる。3,4,5,6が出れば次はAが投げる。Aがn回目にサイコロを振る確率とBがn回目にサイコロを振る確率を求めよ。ただしnは1以上の整数とする。

2. 解き方の手順

Aがn回目にサイコロを振る確率を $P_n$、Bがn回目にサイコロを振る確率を $Q_n$とする。

$P_1 = 1$, $Q_1 = 0$

Aがn回目にサイコロを振る場合を考える。n-1回目にAがサイコロを振って奇数が出た場合と、n-1回目にBがサイコロを振って3,4,5,6が出た場合がある。

Aがサイコロを振って奇数が出る確率は1/2。Bがサイコロを振って3,4,5,6が出る確率は4/6 = 2/3。

したがって、

$P_n = \frac{1}{2} P_{n-1} + \frac{2}{3} Q_{n-1}$

Bがn回目にサイコロを振る場合を考える。n-1回目にAがサイコロを振って偶数が出た場合と、n-1回目にBがサイコロを振って1または2が出た場合がある。

Aがサイコロを振って偶数が出る確率は1/2。Bがサイコロを振って1または2が出る確率は2/6 = 1/3。

したがって、

$Q_n = \frac{1}{2} P_{n-1} + \frac{1}{3} Q_{n-1}$

また、$P_n + Q_n = 1$ より、$Q_n = 1 - P_n$ を用いて $Q_n$ を消去する。

$P_n = \frac{1}{2} P_{n-1} + \frac{2}{3} (1 - P_{n-1})$

$P_n = \frac{1}{2} P_{n-1} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} P_{n-1}$

$P_n = - \frac{1}{6} P_{n-1} + \frac{2}{3}$

$P_n - \alpha = - \frac{1}{6} (P_{n-1} - \alpha)$ となる$\alpha$ を求める。

$P_n = - \frac{1}{6} P_{n-1} + \frac{1}{6} \alpha + \alpha$

$\frac{1}{6} \alpha + \alpha = \frac{2}{3}$

$\frac{7}{6} \alpha = \frac{2}{3}$

$\alpha = \frac{4}{7}$

$P_n - \frac{4}{7} = - \frac{1}{6} (P_{n-1} - \frac{4}{7})$

数列 $\{ P_n - \frac{4}{7} \}$ は、初項 $P_1 - \frac{4}{7} = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$、公比 $-\frac{1}{6}$ の等比数列である。

$P_n - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1}$

$P_n = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1}$

$Q_n = 1 - P_n = 1 - \frac{4}{7} - \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1}$

$Q_n = \frac{3}{7} - \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1} = \frac{3}{7} (1 - (-\frac{1}{6})^{n-1})$

3. 最終的な答え

Aがn回目にサイコロを振る確率は、

$P_n = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1}$

Bがn回目にサイコロを振る確率は、

$Q_n = \frac{3}{7} (1 - (-\frac{1}{6})^{n-1})$