問題は2つの部分から構成されています。 I. サイコロを$n$回($n \geq 2$)投げたとき、出た目の最小公倍数を$m$とする。 (1) $m=2$となる確率を求めよ。 (2) $m=4$となる確率を求めよ。 II. 最大2回のじゃんけんから成るゲームを、次のルール(A), (B), (C)に従って$n$人($n \geq 3$)で行う。 (A) $n$人で1回目のじゃんけんをして1人の勝者が決まったら、ゲームを終了する。 (B) $n$人で1回目のじゃんけんをして2人以上$n-1$人以下の勝者が決まったら、勝ち残った者だけで2回目のじゃんけんをし、ゲームを終了する。 (C) $n$人で1回目のじゃんけんをして誰も勝たなかったら、全員で2回目のじゃんけんをし、ゲームを終了する。 $n$人で1回目のじゃんけんをして$k$人($1 \leq k \leq n-1$)が勝つ確率を$P_k$とする。 (1) $P_1$を求めよ。 (2) $2 \leq k \leq n-1$のとき、$P_k$を求めよ。 (3) 1回目のじゃんけんで誰も勝たない確率を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

I. サイコロを$n$回($n \geq 2$)投げたとき、出た目の最小公倍数を$m$とする。

(1) $m=2$となる確率を求めよ。

(2) $m=4$となる確率を求めよ。

II. 最大2回のじゃんけんから成るゲームを、次のルール(A), (B), (C)に従って$n$人($n \geq 3$)で行う。

(A) $n$人で1回目のじゃんけんをして1人の勝者が決まったら、ゲームを終了する。

(B) $n$人で1回目のじゃんけんをして2人以上$n-1$人以下の勝者が決まったら、勝ち残った者だけで2回目のじゃんけんをし、ゲームを終了する。

(C) $n$人で1回目のじゃんけんをして誰も勝たなかったら、全員で2回目のじゃんけんをし、ゲームを終了する。

$n$人で1回目のじゃんけんをして$k$人($1 \leq k \leq n-1$)が勝つ確率を$P_k$とする。

(1) $P_1$を求めよ。

(2) $2 \leq k \leq n-1$のとき、$P_k$を求めよ。

(3) 1回目のじゃんけんで誰も勝たない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

I. (1) $m=2$となる確率

$n$回のうち少なくとも1回は2が出て、それ以外は1か3か5が出れば良い。

全体から全て奇数が出る場合と全て1か3か5以外が出る場合を引けばよい。

全体は$6^n$通り。

全て奇数の場合は$3^n$通り。

全て1か3か5以外の場合は$3^n$通り。

よって、$6^n - 3^n$通り。

しかし、全て奇数で一度も2が出ない場合の確率は、$3^n -2^n$

少なくとも1回は2が出て、他の目は1,3,5となる確率は

$(3^n+2^n)/6^n$

$m=2$となるのは、少なくとも1回2が出て、かつ他の目は1,3,5のみ。

全事象$6^n$から$2$以外の目が出た場合$5^n$を引く。次に$2$が出ずに全て奇数だった$3^n$を足す。

$m=2$となる確率：$\frac{6^n - 5^n - 3^n+2^n}{6^n}$

I. (2) $m=4$となる確率

$n$回のうち少なくとも1回は4が出て、それ以外は1,2,3,5が出れば良い。また、少なくとも1回は2が出ることが必要。

少なくとも1回4が出て、他の目は1,2,3,5で2が一度も出ない確率を求め、引く必要がある。

$m=4$となるためには、4が少なくとも1回出て、他の数は1,2,3,5のいずれか。かつ、1,3,5だけではならない。

確率：$\frac{4^n}{6^n}$

II. (1) $P_1$を求めよ。

$n$人の中から1人だけが勝つ確率。

1人が勝つためには、他の$n-1$人が負ける必要がある。

$n$人から1人を選ぶ方法は${}_n C_1 = n$通り。

勝つ手を1つ決めると、負ける手のパターンは1通りに決まる。

したがって、

$P_1 = n \times 3 \times 1^n / 3^n = \frac{n}{3^{n-1}}$

II. (2) $2 \leq k \leq n-1$のとき、$P_k$を求めよ。

$n$人の中から$k$人が勝つ確率は、${}_n C_k$通り。

勝つ手を1つ決めると、負ける手のパターンは1通りに決まる。

したがって、

$P_k = {}_n C_k \times 3 \times 1^{n-k} / 3^n = {}_n C_k / 3^{n-1}$

II. (3) 1回目のじゃんけんで誰も勝たない確率を求めよ。

全員が同じ手を出す確率。

全員がグー、チョキ、パーのいずれかを出す確率はそれぞれ$1/3$。

したがって、確率は$3/3^n=1/3^{n-1}$

3. 最終的な答え

I. (1) $\frac{6^n - 5^n - 3^n+2^n}{6^n}$

I. (2) 確率は一旦保留

II. (1) $P_1 = \frac{n}{3^{n-1}}$

II. (2) $P_k = \frac{{}_n C_k}{3^{n-1}}$

II. (3) $\frac{1}{3^{n-1}}$