$n$個の袋があり、それぞれの袋に白玉が2個、赤玉が$(2n-2)$個入っている。それぞれの袋から1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である確率を$p_n$とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ。

1. 問題の内容

$n$個の袋があり、それぞれの袋に白玉が2個、赤玉が$(2n-2)$個入っている。それぞれの袋から1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である確率を$p_n$とする。このとき、$\lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

それぞれの袋から1個ずつ玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数が2個である確率$p_n$を計算する。

$i$番目の袋から白玉を取り出す確率を$P_i$とすると、

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P_i = \frac{2}{2n} = \frac{1}{n}

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$i$番目の袋から赤玉を取り出す確率を$Q_i$とすると、

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Q_i = \frac{2n-2}{2n} = \frac{n-1}{n}

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$n$個の袋から2個の白玉を取り出す確率は、$n$個の袋から2個を選ぶ場合の数と、それらの袋から白玉を取り出し、残りの袋から赤玉を取り出す確率の積で計算できる。

2個の白玉を取り出す袋の組み合わせを$\{i, j\}$とすると、確率は

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p_n = \sum_{1 \le i < j \le n} P_i P_j \prod_{k \ne i, j} Q_k

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$P_i = \frac{1}{n}$、$Q_i = \frac{n-1}{n}$であるから、

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p_n = \sum_{1 \le i < j \le n} \frac{1}{n} \frac{1}{n} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{n-2}

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組み合わせの数$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$を考慮すると、

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p_n = \binom{n}{2} \frac{1}{n^2} \left( \frac{n-1}{n} \right)^{n-2} = \frac{n(n-1)}{2n^2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2} = \frac{n-1}{2n} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2}

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p_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-2} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-1}

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したがって、

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\lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-1} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{-1}

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= \frac{1}{2} e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{2e}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{2e}$