数直線上に異なる2点A, Bがあり、点MはAからスタートする。以下の規則に従って試行を行う。 * MがAにいるとき、サイコロを振って出た目が偶数ならAにとどまり、そうでなければBに移る。 * MがBにいるとき、サイコロを振って出た目の数が1または2であるならばBにとどまり、そうでなければAに移る。 nは1以上の整数とし、n回目の試行の後でMがAにいる確率を$P_A(n)$、MがBにいる確率を$P_B(n)$とする。$P_A(n)$と$P_B(n)$を求めよ。

1. 問題の内容

数直線上に異なる2点A, Bがあり、点MはAからスタートする。以下の規則に従って試行を行う。

* MがAにいるとき、サイコロを振って出た目が偶数ならAにとどまり、そうでなければBに移る。

* MがBにいるとき、サイコロを振って出た目の数が1または2であるならばBにとどまり、そうでなければAに移る。

nは1以上の整数とし、n回目の試行の後でMがAにいる確率を$P_A(n)$、MがBにいる確率を$P_B(n)$とする。$P_A(n)$と$P_B(n)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、サイコロの目の確率を考える。

* Aにいるとき、偶数が出る確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$、奇数が出る確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

* Bにいるとき、1または2が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、それ以外が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

次に、$P_A(n)$と$P_B(n)$の漸化式を立てる。

$n+1$回目の試行でAにいる確率は、$n$回目の試行でAにいてサイコロの目が偶数であるか、$n$回目の試行でBにいてサイコロの目が3,4,5,6であるかのいずれかである。よって、

$P_A(n+1) = \frac{1}{2}P_A(n) + \frac{2}{3}P_B(n)$

同様に、$n+1$回目の試行でBにいる確率は、$n$回目の試行でAにいてサイコロの目が奇数であるか、$n$回目の試行でBにいてサイコロの目が1,2であるかのいずれかである。よって、

$P_B(n+1) = \frac{1}{2}P_A(n) + \frac{1}{3}P_B(n)$

また、$P_A(n) + P_B(n) = 1$なので、$P_B(n) = 1 - P_A(n)$を代入すると、

$P_A(n+1) = \frac{1}{2}P_A(n) + \frac{2}{3}(1 - P_A(n)) = \frac{1}{2}P_A(n) + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}P_A(n) = -\frac{1}{6}P_A(n) + \frac{2}{3}$

初期条件は、$P_A(1) = \frac{1}{2}, P_B(1) = \frac{1}{2}$である。

$P_A(n+1) = -\frac{1}{6}P_A(n) + \frac{2}{3}$を解く。

$P_A(n+1) - \alpha = -\frac{1}{6}(P_A(n) - \alpha)$とおくと、

$\alpha = -\frac{1}{6}\alpha + \frac{2}{3}$より、$\frac{7}{6}\alpha = \frac{2}{3}$なので、$\alpha = \frac{4}{7}$

$P_A(n+1) - \frac{4}{7} = -\frac{1}{6}(P_A(n) - \frac{4}{7})$

$Q(n) = P_A(n) - \frac{4}{7}$とすると、$Q(n+1) = -\frac{1}{6}Q(n)$なので、$Q(n) = Q(1)(-\frac{1}{6})^{n-1}$

$Q(1) = P_A(1) - \frac{4}{7} = \frac{1}{2} - \frac{4}{7} = \frac{7-8}{14} = -\frac{1}{14}$

よって、$Q(n) = -\frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1}$

$P_A(n) = Q(n) + \frac{4}{7} = -\frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1} + \frac{4}{7} = \frac{4}{7} - \frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1}$

$P_B(n) = 1 - P_A(n) = 1 - (\frac{4}{7} - \frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1}) = \frac{3}{7} + \frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1}$

3. 最終的な答え

$P_A(n) = \frac{4}{7} - \frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1}$

$P_B(n) = \frac{3}{7} + \frac{1}{14}(-\frac{1}{6})^{n-1}$