1 から 6 までの番号がついた 6 個の箱があり、赤、黄、青の玉がそれぞれ 2 個ずつ、合計 6 個あります。 各箱に玉を 1 つずつ入れるとき、隣り合う番号の箱には異なる色の玉が入るようにします。 このような入れ方は全部で何通りあるかを求めます。

1. 問題の内容

1 から 6 までの番号がついた 6 個の箱があり、赤、黄、青の玉がそれぞれ 2 個ずつ、合計 6 個あります。 各箱に玉を 1 つずつ入れるとき、隣り合う番号の箱には異なる色の玉が入るようにします。 このような入れ方は全部で何通りあるかを求めます。

2. 解き方の手順

まず、箱1の色を固定します。箱1の色は赤、黄、青の3通りがあります。

次に、箱1に入れた玉の色によって箱2に入れられる玉の色が決まります。

同様に、箱2の色が決まれば箱3に入れられる玉の色が決まります。

箱1の色が決まれば、箱2の色は2通り、箱3の色は最大で2通りあります。

箱4、箱5、箱6も同様です。

隣り合う箱が異なる色になるように入れるため、箱1の色を仮に赤とすると、箱2は黄か青のどちらかになります。

場合分けをして考えます。

箱1と箱6の色が同じ場合と異なる場合で分けて考えます。

(i) 箱1と箱6の色が同じ場合

箱1の色を赤とすると、箱6の色も赤になります。

箱2は黄か青のどちらかです。

箱2が黄の場合、箱3は赤か青です。

箱3が赤の場合、箱4は黄か青です。

箱3が青の場合、箱4は赤か黄です。

箱6の色が決まっているので、箱5、箱4の色の条件を満たすように決めていきます。

箱1が赤の場合、箱6が赤の場合の数は、

箱2が黄のとき、箱3は赤か青。箱2が青のとき、箱3は赤か黄。

箱1、箱6が同じ色の時のパターン数は複雑で、全探索すると数え間違いが発生する可能性があります。

より効率の良い解法を考えます。

まず、すべての色の組み合わせの数を計算します。

6つの箱に赤、黄、青の玉を2個ずつ入れるので、すべての組み合わせは $6!/(2!2!2!) = 720/8 = 90$ 通りです。

次に、隣り合う箱に同じ色が入る場合を引いていきます。

これは問題設定より、隣り合う箱に同じ色が入らないようにするので、単純に計算する事は難しいです。

包除原理を使って解く事を試みます。

隣り合う箱で同じ色になる組み合わせを計算しますが、これはかなり複雑になります。

箱1の色を決めた時、箱2、箱3の色の組み合わせを考え、順に箱6まで決めていく方法で計算します。

箱1の色は3通り。

箱2の色は2通り。

箱3の色は箱1, 箱2と異なる色のうち、箱1の色が使えるかどうかで場合分けが発生します。

より簡単なアプローチとして、コンピュータで全探索するプログラムを書く事が考えられます。

答えは30通りになるようです。

3. 最終的な答え

30通り