数直線上に異なる2点A, Bがある。点MはAからスタートし、以下の規則に従って試行を繰り返す。 - MがAにいるとき、サイコロを振って出た目が偶数ならAにとどまり、そうでなければBに移る。 - MがBにいるとき、サイコロを振って出た目の数が1または2であるならばBにとどまり、そうでなければAに移る。 nは1以上の整数とし、n回目の試行の後でMがAにいる確率 $p_n$ と、n回目の試行の後でMがBにいる確率 $q_n$ を求める。

1. 問題の内容

数直線上に異なる2点A, Bがある。点MはAからスタートし、以下の規則に従って試行を繰り返す。

- MがAにいるとき、サイコロを振って出た目が偶数ならAにとどまり、そうでなければBに移る。

- MがBにいるとき、サイコロを振って出た目の数が1または2であるならばBにとどまり、そうでなければAに移る。

nは1以上の整数とし、n回目の試行の後でMがAにいる確率 $p_n$ と、n回目の試行の後でMがBにいる確率 $q_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$p_n$ と $q_n$ の漸化式を立てる。

MがAにいるとき、サイコロを振って偶数が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ であり、奇数が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

MがBにいるとき、サイコロを振って1または2が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ であり、それ以外の数が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。

したがって、

$p_{n+1} = \frac{1}{2} p_n + \frac{2}{3} q_n$

$q_{n+1} = \frac{1}{2} p_n + \frac{1}{3} q_n$

が成り立つ。

また、$p_n + q_n = 1$ であるから、$q_n = 1 - p_n$ を代入すると、

$p_{n+1} = \frac{1}{2} p_n + \frac{2}{3} (1 - p_n) = \frac{1}{2} p_n + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} p_n = - \frac{1}{6} p_n + \frac{2}{3}$

$p_{n+1} - \alpha = - \frac{1}{6} (p_n - \alpha)$ となるような$\alpha$を求める。

$p_{n+1} = - \frac{1}{6} p_n + \frac{1}{6} \alpha + \alpha = - \frac{1}{6} p_n + \frac{7}{6} \alpha$

これと $p_{n+1} = - \frac{1}{6} p_n + \frac{2}{3}$ を比較すると、

$\frac{7}{6} \alpha = \frac{2}{3}$ より、$\alpha = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{4}{7}$

したがって、

$p_{n+1} - \frac{4}{7} = - \frac{1}{6} (p_n - \frac{4}{7})$

数列 $\{p_n - \frac{4}{7}\}$ は、初項 $p_1 - \frac{4}{7} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3}(0) - \frac{4}{7} = 1 - \frac{4}{7} = 1 - \frac{4}{7}= \frac{3}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ 公比 $- \frac{1}{6}$ の等比数列であるから、$p_1 - \frac{4}{7} = 1 - \frac{4}{7}=\frac{3}{7}$より

$p_n - \frac{4}{7} = (p_1 - \frac{4}{7}) (-\frac{1}{6})^{n-1} = (\frac{3}{7} - \frac{4}{7})(-\frac{1}{6})^{n-1}= (1-\frac{4}{7})(-\frac{1}{6})^{n-1}=\frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1}$

$p_n = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1}$

$q_n = 1 - p_n = 1 - (\frac{4}{7} + \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1}) = \frac{3}{7} - \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1} = \frac{3}{7} (1 - (-\frac{1}{6})^{n-1})$

3. 最終的な答え

$p_n = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} (-\frac{1}{6})^{n-1}$

$q_n = \frac{3}{7} (1 - (-\frac{1}{6})^{n-1})$