問題は、与えられた標本相関係数、標本の個数、有意水準に基づいて、母集団に有意な相関があるかどうかを判定する問題です。それぞれのケースについて、有意な相関があるかどうか答えます（両側検定）。

1. 問題の内容

問題は、与えられた標本相関係数、標本の個数、有意水準に基づいて、母集団に有意な相関があるかどうかを判定する問題です。それぞれのケースについて、有意な相関があるかどうか答えます（両側検定）。

2. 解き方の手順

相関係数の有意性検定を行うには、t値を計算し、t分布表を用いてp値を求め、有意水準と比較します。

t値は次の式で計算されます。

$t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}$

ここで、

- $r$ は標本相関係数

- $n$ は標本の個数

自由度は $df = n - 2$ です。

求めたt値を用いてt分布表からp値を求めます。両側検定なので、t分布表の値は2倍にする必要があります。

p値が有意水準よりも小さい場合、帰無仮説（母集団に相関がない）を棄却し、有意な相関があると結論付けます。p値が有意水準よりも大きい場合、帰無仮説を棄却できず、有意な相関がないと結論付けます。

各ケースについて計算します。

(1) $r = -0.1$, $n = 502$, 有意水準 $\alpha = 0.10$

$t = -0.1 \sqrt{\frac{502-2}{1-(-0.1)^2}} \approx -0.1 \sqrt{\frac{500}{0.99}} \approx -0.1 \sqrt{505.05} \approx -0.1 \times 22.47 \approx -2.247$

$df = 502 - 2 = 500$

$|t| = 2.247$

自由度500のt分布表を見ると、有意水準10%（両側検定）の臨界値は近似的に1.645（自由度が大きいのでz分布表で近似）。

$2.247 > 1.645$ なので、有意水準10%で有意な相関がある。

(2) $r = 0.4$, $n = 18$, 有意水準 $\alpha = 0.05$

$t = 0.4 \sqrt{\frac{18-2}{1-0.4^2}} = 0.4 \sqrt{\frac{16}{1-0.16}} = 0.4 \sqrt{\frac{16}{0.84}} \approx 0.4 \sqrt{19.0476} \approx 0.4 \times 4.364 \approx 1.746$

$df = 18 - 2 = 16$

自由度16のt分布表を見ると、有意水準5%（両側検定）の臨界値は2.120。

$1.746 < 2.120$ なので、有意水準5%で有意な相関がない。

(3) $r = 0.8$, $n = 9$, 有意水準 $\alpha = 0.01$

$t = 0.8 \sqrt{\frac{9-2}{1-0.8^2}} = 0.8 \sqrt{\frac{7}{1-0.64}} = 0.8 \sqrt{\frac{7}{0.36}} \approx 0.8 \sqrt{19.44} \approx 0.8 \times 4.409 \approx 3.527$

$df = 9 - 2 = 7$

自由度7のt分布表を見ると、有意水準1%（両側検定）の臨界値は3.499。

$3.527 > 3.499$ なので、有意水準1%で有意な相関がある。

(4) スピアマンの順位相関係数 $r_s = 0.55$, $n = 15$, 有意水準 $\alpha = 0.05$

スピアマンの順位相関係数の場合、標本数nが小さいときには特殊な表を使用します。 n=15, $\alpha = 0.05$ （両側検定）の場合、スピアマンの順位相関係数の有意性検定表を見ると、臨界値はおよそ0.521です。

$0.55 > 0.521$ なので、有意水準5%で有意な相関がある。

3. 最終的な答え

(1) 有意な相関あり。

(2) 有意な相関なし。

(3) 有意な相関あり。

(4) 有意な相関あり。