ある運動器具の効果を実感できた人の割合について、男性と女性の間で差があるかどうかを、有意水準1%で検定する問題です。具体的には、男性は100人中60人、女性は100人中40人が効果を実感できたと回答しています。

1. 問題の内容

ある運動器具の効果を実感できた人の割合について、男性と女性の間で差があるかどうかを、有意水準1%で検定する問題です。具体的には、男性は100人中60人、女性は100人中40人が効果を実感できたと回答しています。

2. 解き方の手順

(1) 検定統計量を求める。

男性の効果を実感した割合を $p_1$、女性の効果を実感した割合を $p_2$ とする。

標本サイズはそれぞれ $n_1 = 100$、 $n_2 = 100$。

標本における効果を実感した人数はそれぞれ $x_1 = 60$、 $x_2 = 40$。

標本割合はそれぞれ $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{60}{100} = 0.6$、 $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{40}{100} = 0.4$。

帰無仮説は $H_0: p_1 = p_2$、対立仮説は $H_1: p_1 > p_2$ (右片側検定)。

プールされた標本割合 $\hat{p}$ は、

$\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{60 + 40}{100 + 100} = \frac{100}{200} = 0.5$

検定統計量 $z$ は、

$z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}} = \frac{0.6 - 0.4}{\sqrt{0.5(1-0.5)(\frac{1}{100} + \frac{1}{100})}} = \frac{0.2}{\sqrt{0.5 \cdot 0.5 \cdot \frac{2}{100}}} = \frac{0.2}{\sqrt{\frac{0.5}{100}}} = \frac{0.2}{\sqrt{0.005}} = \frac{0.2}{0.0707} \approx 2.828$

(2) 有意水準1%で検定 (右片側検定) の結果

有意水準 $\alpha = 0.01$ の右片側検定を行う。

$z$値が2.828のとき、p値は0.0023です。

$\alpha = 0.01$ に対する棄却域は $z > 2.33$ (標準正規分布表より)。

計算された検定統計量 $z = 2.828$ は棄却域に入るので、帰無仮説は棄却される。

したがって、対立仮説が採択される。

3. 最終的な答え

(1) 検定統計量: $z \approx 2.828$

(2) 有意水準1%で検定 (右片側検定) の結果: 帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択される。