12本のくじの中に当たりくじが3本ある。復元抽出で3回くじを引くとき、以下の事象が起こる確率を求める。 (1) 2回当たり、1回外れる。 (2) 少なくとも1回当たる。

1. 問題の内容

12本のくじの中に当たりくじが3本ある。復元抽出で3回くじを引くとき、以下の事象が起こる確率を求める。

(1) 2回当たり、1回外れる。

(2) 少なくとも1回当たる。

2. 解き方の手順

(1) 2回当たり、1回外れる確率

当たりくじを引く確率を $p$、外れくじを引く確率を $q$ とする。

$p = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$q = 1 - p = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

3回引くうち、2回当たり1回外れる組み合わせは、当たり、当たり、外れ; 当たり、外れ、当たり; 外れ、当たり、当たり の3通りである。したがって、確率は

$3 \times p^2 \times q = 3 \times (\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4} = 3 \times \frac{1}{16} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

(2) 少なくとも1回当たる確率

少なくとも1回当たる確率は、1回も当たらない確率を1から引けば求められる。

3回とも外れる確率は、$q^3 = (\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$

したがって、少なくとも1回当たる確率は、$1 - \frac{27}{64} = \frac{64-27}{64} = \frac{37}{64}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{64}$

(2) $\frac{37}{64}$