ある野生動物の総数を推定するために、まず50頭を捕獲してマークを付け、自然に戻しました。その後、100頭を捕獲したところ、10頭にマークが付いていました。 (1) 森にいるマークの付いた野生動物の比率の90%信頼区間の下限を求めます。 (2) 森にいるマークの付いた野生動物の比率の90%信頼区間の上限を求めます。 (3) 森にいる野生動物の総数の90%信頼区間の下限を求めます。 (4) 森にいる野生動物の総数の90%信頼区間の上限を求めます。

1. 問題の内容

ある野生動物の総数を推定するために、まず50頭を捕獲してマークを付け、自然に戻しました。その後、100頭を捕獲したところ、10頭にマークが付いていました。

(1) 森にいるマークの付いた野生動物の比率の90%信頼区間の下限を求めます。

(2) 森にいるマークの付いた野生動物の比率の90%信頼区間の上限を求めます。

(3) 森にいる野生動物の総数の90%信頼区間の下限を求めます。

(4) 森にいる野生動物の総数の90%信頼区間の上限を求めます。

2. 解き方の手順

まず、マークの付いた動物の比率の推定値を求めます。

100頭中10頭にマークが付いていたので、比率の推定値は $\frac{10}{100} = 0.1$ です。

次に、信頼区間を計算するために、標準誤差を計算します。

比率の標準誤差は、

$SE = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

ここで、$p$は比率の推定値、$n$はサンプルサイズです。

この場合、$p = 0.1$、$n = 100$なので、

$SE = \sqrt{\frac{0.1(1-0.1)}{100}} = \sqrt{\frac{0.1 \times 0.9}{100}} = \sqrt{0.0009} = 0.03$

90%信頼区間を求めるために、$z$値を使用します。90%信頼区間の$z$値は1.645です。

信頼区間の下限は、

$p - z \times SE = 0.1 - 1.645 \times 0.03 = 0.1 - 0.04935 = 0.05065$

信頼区間の上限は、

$p + z \times SE = 0.1 + 1.645 \times 0.03 = 0.1 + 0.04935 = 0.14935$

(1) マークの付いた野生動物の比率の90%信頼区間の下限は0.05065です。

(2) マークの付いた野生動物の比率の90%信頼区間の上限は0.14935です。

次に、野生動物の総数を推定します。

$N$を野生動物の総数、$M$を最初にマークを付けた動物の数、$n$を二度目に捕獲した動物の数、$m$を二度目に捕獲した動物のうちマークが付いていた数とします。

すると、

$\frac{M}{N} \approx \frac{m}{n}$

したがって、$N \approx \frac{M \times n}{m}$

この場合、$M = 50$、$n = 100$、$m = 10$なので、

$N \approx \frac{50 \times 100}{10} = 500$

総数の信頼区間を推定するには、比率の信頼区間を使用します。

比率の信頼区間の下限は0.05065、上限は0.14935でした。

総数の下限は、$\frac{50}{0.14935} \approx 334.86$

総数の上限は、$\frac{50}{0.05065} \approx 987.17$

(3) 森にいる野生動物の総数の90%信頼区間の下限は335 (整数で答える)です。

(4) 森にいる野生動物の総数の90%信頼区間の上限は987 (整数で答える)です。

3. 最終的な答え

(1) 0.05065

(2) 0.14935

(3) 335

(4) 987