赤2枚、黒2枚、計4枚のトランプから無作為に2枚を選んだとき、それらが同色のカードである確率を求める問題に対して、以下の2つの解答が示されています。どちらが正しいか判断します。 (i) その2枚は「どちらも黒」、「黒と赤が1枚ずつ」、「どちらも赤」のいずれかであるから、同色である確率は$\frac{2}{3}$。 (ii) その2枚は「黒黒」、「黒赤」、「赤黒」、「赤赤」のいずれかであるから、同色である確率は$\frac{1}{2}$。

1. 問題の内容

赤2枚、黒2枚、計4枚のトランプから無作為に2枚を選んだとき、それらが同色のカードである確率を求める問題に対して、以下の2つの解答が示されています。どちらが正しいか判断します。

(i) その2枚は「どちらも黒」、「黒と赤が1枚ずつ」、「どちらも赤」のいずれかであるから、同色である確率は$\frac{2}{3}$。

(ii) その2枚は「黒黒」、「黒赤」、「赤黒」、「赤赤」のいずれかであるから、同色である確率は$\frac{1}{2}$。

2. 解き方の手順

まず、2枚のカードの選び方の場合の数を考えます。4枚から2枚を選ぶので、組み合わせの数は $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

次に、2枚とも同色である場合の数を考えます。2枚とも黒である場合は $_2C_2 = 1$ 通り、2枚とも赤である場合は $_2C_2 = 1$ 通りです。したがって、同色である場合の数は $1+1=2$ 通りです。

したがって、同色である確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

解答(i)では、「どちらも黒」、「黒と赤が1枚ずつ」、「どちらも赤」の3つの場合があると述べています。しかし、これらの事象が同様に確からしいとは限りません。そのため、$\frac{2}{3}$という確率は正しくありません。

解答(ii)では、「黒黒」、「黒赤」、「赤黒」、「赤赤」のいずれかであるとし、このうち同色は「黒黒」と「赤赤」の2つだから、確率は $\frac{1}{2}$ としています。しかし、「黒赤」と「赤黒」は異なる並び方として区別していますが、これは2枚を同時に選ぶという問題設定においては適切ではありません。

正しい解法は、すべての場合の数と、同色である場合の数を直接計算し、確率を求めることです。

3. 最終的な答え

(i), (ii) どちらの解答も正しくありません。正しくは、同色である確率は $\frac{1}{3}$ です。