ある予備校に通う学生16人の1日の勉強時間を調べたところ、平均値が6時間、標本標準偏差が2時間であった。このデータをもとに、「この予備校に通う学生の勉強時間は5時間ではない」という仮説を有意水準5%で検定する。ただし、学生の勉強時間の分布は正規分布に従うとする。 (1) 検定統計量を求めよ。 (2) 有意水準5%で検定（両側検定）の結果を記述せよ。

1. 問題の内容

ある予備校に通う学生16人の1日の勉強時間を調べたところ、平均値が6時間、標本標準偏差が2時間であった。このデータをもとに、「この予備校に通う学生の勉強時間は5時間ではない」という仮説を有意水準5%で検定する。ただし、学生の勉強時間の分布は正規分布に従うとする。

(1) 検定統計量を求めよ。

(2) 有意水準5%で検定（両側検定）の結果を記述せよ。

2. 解き方の手順

(1) 検定統計量の計算

まず、帰無仮説と対立仮説を設定する。

* 帰無仮説 ($H_0$): 学生の勉強時間は5時間である。

* 対立仮説 ($H_1$): 学生の勉強時間は5時間ではない。

次に、検定統計量 $t$ を計算する。標本平均を $\bar{x}$、帰無仮説における母平均を $\mu_0$、標本標準偏差を $s$、標本サイズを $n$ とすると、$t$ は以下の式で計算できる。

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$

与えられた値 ($\bar{x} = 6, \mu_0 = 5, s = 2, n = 16$) を代入する。

$t = \frac{6 - 5}{2 / \sqrt{16}} = \frac{1}{2 / 4} = \frac{1}{0.5} = 2$

(2) 有意水準5%での検定（両側検定）

自由度 $df = n - 1 = 16 - 1 = 15$ の$t$分布表を参照する。有意水準5%の両側検定であるため、$\alpha = 0.05$ である。$t$分布表から、$t_{0.025, 15} \approx 2.131$ が得られる。

$t$ 値 ($2$) を臨界値 ($2.131$) と比較する。$|t| = 2 < 2.131$ であるため、帰無仮説は棄却されない。

3. 最終的な答え

(1) 検定統計量: $t = 2$

(2) 有意水準5%で検定（両側検定）の結果: 帰無仮説は採択される。