$n$ を2以上の自然数とします。サイコロを $n$ 回振り、出た目の最大値を $M$、最小値を $L$ とします。 $X = M - L$ とするとき、以下の確率を求めます。 (1) $X = 1$ である確率 (2) $X = 5$ である確率

1. 問題の内容

$n$ を2以上の自然数とします。サイコロを $n$ 回振り、出た目の最大値を $M$、最小値を $L$ とします。 $X = M - L$ とするとき、以下の確率を求めます。

(1) $X = 1$ である確率

(2) $X = 5$ である確率

2. 解き方の手順

(1) $X = 1$ となる確率

$X = M - L = 1$ となるのは、最大値 $M$ と最小値 $L$ の差が1の場合です。つまり、$L = k$ とすると、$M = k+1$ となります。ここで、$k$ は1から5までの整数です。

$n$ 回のサイコロの目が $k$ または $k+1$ のみからなる確率は $(\frac{2}{6})^n = (\frac{1}{3})^n$ です。

このうち、全ての目が $k$ である確率 $(\frac{1}{6})^n$ と、全ての目が $k+1$ である確率 $(\frac{1}{6})^n$ を除く必要があります。したがって、$k$ と $k+1$ のみからなる確率は $(\frac{1}{3})^n - 2 (\frac{1}{6})^n$ となります。

$k$ は 1 から 5 までの値を取るので、求める確率は

$$5 \left( \left( \frac{1}{3} \right)^n - 2 \left( \frac{1}{6} \right)^n \right) = 5 \left( \frac{1}{3^n} - \frac{2}{6^n} \right) = 5 \left( \frac{1}{3^n} - \frac{2}{2^n 3^n} \right) = 5 \frac{2^n - 2}{6^n}$$

(2) $X = 5$ となる確率

$X = M - L = 5$ となるのは、最大値 $M$ と最小値 $L$ の差が5の場合です。つまり、$L = k$ とすると、$M = k+5$ となります。ここで、$k$ は1のみです。

$n$ 回のサイコロの目が $k$ または $k+5$ のみからなる確率は $(\frac{2}{6})^n = (\frac{1}{3})^n$ です。

このうち、全ての目が $k$ である確率 $(\frac{1}{6})^n$ と、全ての目が $k+5$ である確率 $(\frac{1}{6})^n$ を除く必要があります。したがって、$k$ と $k+5$ のみからなる確率は $(\frac{1}{3})^n - 2 (\frac{1}{6})^n$ となります。

$k$ は 1 の値しか取らないので、求める確率は

$$\left( \frac{1}{3} \right)^n - 2 \left( \frac{1}{6} \right)^n = \frac{1}{3^n} - \frac{2}{6^n} = \frac{1}{3^n} - \frac{2}{2^n 3^n} = \frac{2^n - 2}{6^n}$$

3. 最終的な答え

(1) $X = 1$ である確率: $\frac{5(2^n - 2)}{6^n}$

(2) $X = 5$ である確率: $\frac{2^n - 2}{6^n}$