問題1：ある加工品の過去の不良率は4%である。加工方法の一部変更に伴い、150個の製品を検査したところ、不良品が11個あった。不良率が変化したといえるかを有意水準1%で検定する。 問題2：視聴率が10%だと考えられていた番組について、200人を無作為抽出し、その番組を見たかどうかを調べたところ、200人中12人が見ていた。視聴率が下がったといえるかを有意水準1%で検定する。

1. 問題の内容

問題1：ある加工品の過去の不良率は4%である。加工方法の一部変更に伴い、150個の製品を検査したところ、不良品が11個あった。不良率が変化したといえるかを有意水準1%で検定する。

問題2：視聴率が10%だと考えられていた番組について、200人を無作為抽出し、その番組を見たかどうかを調べたところ、200人中12人が見ていた。視聴率が下がったといえるかを有意水準1%で検定する。

2. 解き方の手順

問題1：

* 帰無仮説：不良率は変化していない（4%である）。

* 対立仮説：不良率は変化した（4%ではない）。

* 有意水準：$\alpha = 0.01$

* 標本サイズ：$n = 150$

* 不良品の数：$x = 11$

* 標本不良率：$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{11}{150} \approx 0.0733$

* 母不良率：$p_0 = 0.04$

* 検定統計量：$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} = \frac{0.0733 - 0.04}{\sqrt{\frac{0.04(1 - 0.04)}{150}}} \approx \frac{0.0333}{\sqrt{\frac{0.0384}{150}}} \approx \frac{0.0333}{\sqrt{0.000256}} \approx \frac{0.0333}{0.016} \approx 2.08$

* 両側検定なので、有意水準1%における棄却域は$z < -2.576$ または $z > 2.576$。

* $z = 2.08$は棄却域に含まれないため、帰無仮説は棄却されない。

問題2：

* 帰無仮説：視聴率は変化していない（10%である）。

* 対立仮説：視聴率は下がった（10%より低い）。

* 有意水準：$\alpha = 0.01$

* 標本サイズ：$n = 200$

* 見た人の数：$x = 12$

* 標本視聴率：$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{12}{200} = 0.06$

* 母視聴率：$p_0 = 0.10$

* 検定統計量：$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} = \frac{0.06 - 0.10}{\sqrt{\frac{0.10(1 - 0.10)}{200}}} = \frac{-0.04}{\sqrt{\frac{0.09}{200}}} \approx \frac{-0.04}{\sqrt{0.00045}} \approx \frac{-0.04}{0.0212} \approx -1.89$

* 片側検定なので、有意水準1%における棄却域は$z < -2.326$。

* $z = -1.89$は棄却域に含まれないため、帰無仮説は棄却されない。

3. 最終的な答え

問題1：不良率は変化したとはいえない。

問題2：視聴率が下がったとはいえない。