袋の中に1から8までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。袋からカードを1枚取り出し、元に戻す操作を4回繰り返す。取り出されたカードの数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。 (1) $a+b+c+d = 6$ となる確率を求める。 (2) 積 $abcd$ が奇数となる確率を求める。 (3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$ となる確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に1から8までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。袋からカードを1枚取り出し、元に戻す操作を4回繰り返す。取り出されたカードの数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。

(1) $a+b+c+d = 6$ となる確率を求める。

(2) 積 $abcd$ が奇数となる確率を求める。

(3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)=0$ となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c+d = 6$ となる確率

$a, b, c, d$ はそれぞれ1から8までの整数である。

$a, b, c, d \ge 1$ であるから、$a' = a - 1, b' = b - 1, c' = c - 1, d' = d - 1$ とおくと、$a', b', c', d' \ge 0$ であり、

$a'+1 + b'+1 + c'+1 + d'+1 = 6$

$a' + b' + c' + d' = 2$

この非負整数解の組の総数は、重複組み合わせを用いて ${}_{4}H_{2} = {}_{4+2-1}C_{2} = {}_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りである。

すべての場合は $8^4 = 4096$ 通りであるから、確率は $\frac{10}{4096} = \frac{5}{2048}$ となる。

(2) 積 $abcd$ が奇数となる確率

積 $abcd$ が奇数となるためには、$a, b, c, d$ がすべて奇数でなければならない。1から8までの奇数は1, 3, 5, 7の4つである。

したがって、$a, b, c, d$ がすべて奇数である確率は $(\frac{4}{8})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ である。

(3) $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) = 0$ となる確率

$(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) = 0$ となるのは、$a=1$ または $b=1$ または $c=1$ または $d=1$ のときである。

この余事象は、$a \ne 1$ かつ $b \ne 1$ かつ $c \ne 1$ かつ $d \ne 1$ のときである。

$a \ne 1$ となる確率は $\frac{7}{8}$ である。したがって、$a \ne 1$ かつ $b \ne 1$ かつ $c \ne 1$ かつ $d \ne 1$ となる確率は $(\frac{7}{8})^4 = \frac{2401}{4096}$ である。

よって、求める確率は $1 - (\frac{7}{8})^4 = 1 - \frac{2401}{4096} = \frac{4096 - 2401}{4096} = \frac{1695}{4096}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2048}$

(2) $\frac{1}{16}$

(3) $\frac{1695}{4096}$