1年生2人、2年生2人、3年生3人の計7人の生徒を横一列に並べる。同じ学年の生徒でも個人を区別するとき、以下の問いに答えよ。 (1) 並び方は全部で何通りあるか。 (2) 両端に3年生が並ぶ並び方は全部で何通りあるか。 (3) 3年生の3人が隣り合う並び方は何通りあるか。 (4) 1年生の2人、2年生の2人、3年生の3人が、それぞれ隣り合う並び方は何通りあるか。

## 問題11

1. **問題の内容**

1年生2人、2年生2人、3年生3人の計7人の生徒を横一列に並べる。同じ学年の生徒でも個人を区別するとき、以下の問いに答えよ。

(1) 並び方は全部で何通りあるか。

(2) 両端に3年生が並ぶ並び方は全部で何通りあるか。

(3) 3年生の3人が隣り合う並び方は何通りあるか。

(4) 1年生の2人、2年生の2人、3年生の3人が、それぞれ隣り合う並び方は何通りあるか。

2. **解き方の手順**

(1) 全体の並び方

7人を一列に並べるので、並び方は $7!$ 通り。ただし、同じ学年の生徒は区別しないので、1年生2人、2年生2人、3年生3人の並び替えの分だけ割る必要がある。

$\frac{7!}{2!2!3!}$

(2) 両端に3年生が並ぶ並び方

まず、両端に3年生を並べる。3人のうちの2人を並べるので、$3P2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。

残りの5人の並び方は、$5!$ 通り。ただし、1年生2人、2年生2人の並び替えの分だけ割る必要がある。

$6 \times \frac{5!}{2!2!}$

(3) 3年生の3人が隣り合う並び方

3年生3人をひとまとめにして考える。すると、1年生2人、2年生2人、3年生のグループ1つの計5つのものを並べる。その並び方は $5!$ 通り。ただし、1年生2人、2年生2人の並び替えの分だけ割る必要がある。

また、3年生のグループ内での並び方は $3!$ 通り。

$\frac{5!}{2!2!} \times 3!$

(4) それぞれの学年が隣り合う並び方

1年生のグループ、2年生のグループ、3年生のグループをそれぞれまとめて考える。3つのグループの並び方は $3!$ 通り。

1年生のグループ内での並び方は $2!$ 通り。

2年生のグループ内での並び方は $2!$ 通り。

3年生のグループ内での並び方は $3!$ 通り。

$3! \times 2! \times 2! \times 3!$

3. **最終的な答え**

(1) $\frac{7!}{2!2!3!} = \frac{5040}{24} = 210$ 通り

(2) $6 \times \frac{5!}{2!2!} = 6 \times \frac{120}{4} = 6 \times 30 = 180$ 通り

(3) $\frac{5!}{2!2!} \times 3! = \frac{120}{4} \times 6 = 30 \times 6 = 180$ 通り

(4) $3! \times 2! \times 2! \times 3! = 6 \times 2 \times 2 \times 6 = 144$ 通り