複数の確率に関する問題が記載されています。具体的には、期待値、分散、標準偏差の計算、二項分布、標本平均に関する問題です。

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

複数の確率に関する問題が記載されています。具体的には、期待値、分散、標準偏差の計算、二項分布、標本平均に関する問題です。

2. 解き方の手順

**問題2**

確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。

$X$ は 1, 2, 3 の値を取り、それぞれの確率が $3/8$, $2/8$, $3/8$ です。

(1) $X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

期待値は、各値にその確率を掛けて足し合わせたものです。

$E(X) = 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{2}{8} + 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{8} + \frac{4}{8} + \frac{9}{8} = \frac{16}{8} = 2$

(2) $X$ の分散 $V(X)$ を求めます。

分散は、$E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。

まず、$E(X^2)$ を求めます。

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{3}{8} + 2^2 \cdot \frac{2}{8} + 3^2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{8} + \frac{8}{8} + \frac{27}{8} = \frac{38}{8} = \frac{19}{4}$

したがって、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{19}{4} - 2^2 = \frac{19}{4} - 4 = \frac{19}{4} - \frac{16}{4} = \frac{3}{4}$

(3) $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

標準偏差は、分散の平方根です。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

**問題3**

確率変数 $X$ に対して、確率変数 $Y = 2X - 1$ と定めます。

$X$ は問題2の設定と同様とします。

(1) $Y$ の期待値 $E(Y)$ を求めます。

$E(Y) = E(2X - 1) = 2E(X) - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$

(2) $Y$ の分散 $V(Y)$ を求めます。

$V(Y) = V(2X - 1) = 2^2 V(X) = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$

(3) $Y$ の標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めます。

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{3}$

**問題5**

確率変数 $X$ が二項分布 $B(8, \frac{1}{6})$ に従うとき、次の値を求めます。

(1) $X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

二項分布の期待値は $np$ です。

$E(X) = 8 \cdot \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(2) $X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

二項分布の標準偏差は $\sqrt{np(1-p)}$ です。

$\sigma(X) = \sqrt{8 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{40}{36}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$

**問題6**

母平均 80, 母標準偏差 10 の母集団から、大きさ 100 の無作為標本を復元抽出するとき、次の値を求めます。

(1) 標本平均の期待値 $E(\bar{X})$ を求めます。

標本平均の期待値は母平均に等しいです。

$E(\bar{X}) = 80$

(2) 標本平均の標準偏差 $\sigma(\bar{X})$ を求めます。

標本平均の標準偏差は $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ です。

$\sigma(\bar{X}) = \frac{10}{\sqrt{100}} = \frac{10}{10} = 1$

3. 最終的な答え

**問題2**

(1) $E(X) = 2$

(2) $V(X) = \frac{3}{4}$

(3) $\sigma(X) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

**問題3**

(1) $E(Y) = 3$

(2) $V(Y) = 3$

(3) $\sigma(Y) = \sqrt{3}$

**問題5**

(1) $E(X) = \frac{4}{3}$

(2) $\sigma(X) = \frac{\sqrt{10}}{3}$

**問題6**

(1) $E(\bar{X}) = 80$

(2) $\sigma(\bar{X}) = 1$