確率変数に関する問題がいくつかあります。具体的には、以下の問題について答えます。 * 確率変数 $X$ の確率分布が与えられたとき、期待値、分散、標準偏差を求める。 * 確率変数 $X$ に対して $Y = 2X + 1$ と定めるとき、$Y$ の期待値、分散、標準偏差を求める。 * 確率変数 $X$ が二項分布 $B(6, \frac{1}{3})$ に従うとき、期待値と標準偏差を求める。 * 母平均80, 母標準偏差10の母集団から、大きさ100の無作為標本を復元抽出するとき、標本平均の期待値と標準偏差を求める。

1. 問題の内容

確率変数に関する問題がいくつかあります。具体的には、以下の問題について答えます。

* 確率変数 $X$ の確率分布が与えられたとき、期待値、分散、標準偏差を求める。

* 確率変数 $X$ に対して $Y = 2X + 1$ と定めるとき、$Y$ の期待値、分散、標準偏差を求める。

* 確率変数 $X$ が二項分布 $B(6, \frac{1}{3})$ に従うとき、期待値と標準偏差を求める。

* 母平均80, 母標準偏差10の母集団から、大きさ100の無作為標本を復元抽出するとき、標本平均の期待値と標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

2. 確率変数 $X$ の確率分布が与えられたとき、期待値、分散、標準偏差を求める。

$E(X) = \sum x_i p_i$

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \sum x_i^2 p_i - E(X)^2$

$SD(X) = \sqrt{V(X)}$

確率分布は以下の通りです。

X | 1 | 2 | 3

------- | -------- | -------- | --------

P | 3/10 | 2/10 | 5/10

$E(X) = 1 \cdot \frac{3}{10} + 2 \cdot \frac{2}{10} + 3 \cdot \frac{5}{10} = \frac{3 + 4 + 15}{10} = \frac{22}{10} = 2.2$

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{3}{10} + 2^2 \cdot \frac{2}{10} + 3^2 \cdot \frac{5}{10} = \frac{3 + 8 + 45}{10} = \frac{56}{10} = 5.6$

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 5.6 - 2.2^2 = 5.6 - 4.84 = 0.76$

$SD(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0.76} \approx 0.8718$

3. 確率変数 $X$ に対して $Y = 2X + 1$ と定めるとき、$Y$ の期待値、分散、標準偏差を求める。

$E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1$

$V(Y) = V(2X + 1) = 2^2 V(X) = 4V(X)$

$SD(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{4V(X)} = 2SD(X)$

$E(Y) = 2 \cdot 2.2 + 1 = 4.4 + 1 = 5.4$

$V(Y) = 4 \cdot 0.76 = 3.04$

$SD(Y) = 2 \cdot \sqrt{0.76} = 2 \cdot 0.8718 \approx 1.7436$

4. 確率変数 $X$ が二項分布 $B(6, \frac{1}{3})$ に従うとき、期待値と標準偏差を求める。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1 - p)$

$SD(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$

$n = 6, p = \frac{1}{3}$

$E(X) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$

$V(X) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

$SD(X) = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.1547$

5. 母平均80, 母標準偏差10の母集団から、大きさ100の無作為標本を復元抽出するとき、標本平均の期待値と標準偏差を求める。

$E(\bar{X}) = \mu$

$SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$\mu = 80, \sigma = 10, n = 100$

$E(\bar{X}) = 80$

$SD(\bar{X}) = \frac{10}{\sqrt{100}} = \frac{10}{10} = 1$

3. 最終的な答え

2. (1) 2.2

(2) 0.76

(3) 0.8718

3. (1) 5.4

(2) 3.04

(3) 1.7436

4. (1) 2

(2) 1.1547

5. (1) 80

(2) 1