1から $a$ までの自然数が書かれたカードが各数に対して1枚ずつ合計 $a$ 枚ある。この中から同時に2枚を取り、小さい方を $X$, 大きい方を $Y$ とする。 (1) $a=10$ のとき、$X=2$ かつ $Y=4$ となる確率と、$Y=4$ となる確率を求める。 (2) 自然数 $b, c$ が $1 \le b < c \le a$ を満たすとき、$Y=c$ となる確率を求め、条件 $Y=c$ のもとで $X=b$ となる条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

1から $a$ までの自然数が書かれたカードが各数に対して1枚ずつ合計 $a$ 枚ある。この中から同時に2枚を取り、小さい方を $X$, 大きい方を $Y$ とする。

(1) $a=10$ のとき、$X=2$ かつ $Y=4$ となる確率と、$Y=4$ となる確率を求める。

(2) 自然数 $b, c$ が $1 \le b < c \le a$ を満たすとき、$Y=c$ となる確率を求め、条件 $Y=c$ のもとで $X=b$ となる条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a=10$ のとき、カードは1から10まである。2枚のカードの選び方は全部で ${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 通りある。

$X=2$ かつ $Y=4$ となるのは、カードが2と4のときなので、その確率は $\frac{1}{45}$ となる。

$Y=4$ となるのは、2枚のカードのうち大きい方が4のときなので、小さい方は1, 2, 3のいずれかである。したがって、(1, 4), (2, 4), (3, 4) の3通りがある。よって、$Y=4$ となる確率は $\frac{3}{45} = \frac{1}{15}$ となる。

(2)

$Y=c$ となるのは、2枚のカードのうち大きい方が $c$ のときなので、小さい方は1から $c-1$ までのいずれかである。小さい方の選び方は $c-1$ 通りある。2枚のカードの選び方は全部で ${}_{a}C_2 = \frac{a(a-1)}{2}$ 通りある。したがって、$Y=c$ となる確率は $\frac{c-1}{{}_{a}C_2} = \frac{c-1}{\frac{a(a-1)}{2}} = \frac{2(c-1)}{a(a-1)}$ となる。

$Y=c$ のもとで $X=b$ となる条件付き確率は、

$P(X=b | Y=c) = \frac{P(X=b \text{ かつ } Y=c)}{P(Y=c)}$

$X=b$ かつ $Y=c$ となるのは、カードが $b$ と $c$ のときなので、確率は $\frac{1}{{}_{a}C_2} = \frac{2}{a(a-1)}$ である。

よって、

$P(X=b | Y=c) = \frac{\frac{2}{a(a-1)}}{\frac{2(c-1)}{a(a-1)}} = \frac{1}{c-1}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $X=2$ かつ $Y=4$ となる確率は $\frac{1}{45}$

$Y=4$ となる確率は $\frac{1}{15}$

(2) $Y=c$ となる確率は $\frac{2(c-1)}{a(a-1)}$

$Y=c$ のもとで $X=b$ となる条件付き確率は $\frac{1}{c-1}$