箱の中から理子さんが球を1個取り出し、取り出した球を元に戻した後、真人さんが球を1個取り出す。理子さんがAの文字が書かれた球を取り出す確率と、理子さんがBの文字が書かれた球を取り出し、真人さんがCの文字が書かれた球を取り出す確率を比較する。

1. 問題の内容

箱の中から理子さんが球を1個取り出し、取り出した球を元に戻した後、真人さんが球を1個取り出す。理子さんがAの文字が書かれた球を取り出す確率と、理子さんがBの文字が書かれた球を取り出し、真人さんがCの文字が書かれた球を取り出す確率を比較する。

2. 解き方の手順

(ア) 理子さんがAの文字が書かれた球を取り出す確率は、箱の中の球の構成に依存する。問題文には箱の中身の情報がないため、Aの球の割合を $x$ と仮定すると、理子さんがAの文字が書かれた球を取り出す確率は $x$ となる。問題文からはAの球の割合を特定できないため、具体的な数値は不明。しかし、確率の比較ができるように、この値をいったん $x$ とおく。

(イ) 理子さんがBの文字が書かれた球を取り出し、真人さんがCの文字が書かれた球を取り出す確率は、箱の中の球の構成に依存する。理子さんがBの球を取り出す確率を $y$ 、真人さんがCの球を取り出す確率を $z$ と仮定すると、二人が続けてBとCの球を取り出す確率は $y \times z$ となる。ここでも、問題文からは具体的な数値は不明。

しかし、取り出した球を元に戻すため、理子さんの試行と真人さんの試行は独立である。

ここで、問題文の指示に従って、具体的な値を入れて比較する。

例えば、箱の中にA, B, Cの球がそれぞれ1つずつ入っていると仮定する。

このとき、

理子さんがAの球を取り出す確率(ア)は $1/3$ である。

理子さんがBの球を取り出し、真人さんがCの球を取り出す確率(イ)は、$1/3 \times 1/3 = 1/9$ となる。

この場合、$1/3 > 1/9$ なので、理子さんがAの球を取り出す確率の方が大きい。

箱の中にAが2つ、Bが1つ、Cが1つ入っている場合、

理子さんがAの球を取り出す確率は $2/4 = 1/2$

理子さんがBの球を取り出し、真人さんがCの球を取り出す確率は $1/4 \times 1/4 = 1/16$

この場合、$1/2 > 1/16$ なので、理子さんがAの球を取り出す確率の方が大きい。

一般的な場合を考える。箱の中の球の総数を $N$ とする。Aの球の数を $n_A$、Bの球の数を $n_B$、Cの球の数を $n_C$ とする。

理子さんがAの球を取り出す確率は $n_A/N$ である。

理子さんがBの球を取り出し、真人さんがCの球を取り出す確率は $(n_B/N) \times (n_C/N)$ である。

$(n_A/N) > (n_B/N) \times (n_C/N)$ が常に成り立つわけではない。

例えば、$n_A=1, n_B=2, n_C=2, N=5$ の場合、

$1/5 < (2/5) \times (2/5) = 4/25$ となる。

問題文の意図を汲み取ると、箱の中の球の構成がどうであれ、理子さんがAを引く確率と、理子さんがBを引いて真人さんがCを引く確率の大小関係は常に理子さんがAを引く確率の方が大きくなる、という事を示唆していると考えられる。しかし、上記のように反例が存在するため、そのような解釈は誤りである。

しかしながら、この問題には球の個数に関する情報が一切ないため、比べることはできない。したがって、確率の値は不明であるが、「大きい」という結論は導き出せない。

問題文に情報が欠落している可能性を考慮する。

もし箱の中にA, B, Cの3種類の球が同じ数だけ入っていると仮定すると、

理子さんがAの球を取り出す確率は $1/3$ であり、

理子さんがBの球を取り出し、真人さんがCの球を取り出す確率は $1/3 \times 1/3 = 1/9$ である。この場合、理子さんがAの球を取り出す確率の方が大きい。

3. 最終的な答え

(ア) 不明（球の個数が不明）

(イ) 大きい